
(2.1)
Аналогично, рассматривая площадь «описанной» ступенчатой фигуры, получаем

(2.2)
Если функция f положительна, непрерывна и убывающая на [a,b], то

(2.3)
Покажем на ряде примеров, как соотношения (2.1)-(2.3) используются при доказательстве неравенств.
Задача 2.1. Доказать, что если

, то

.
Решение.
Выражение

совпадает с левой частью неравенства (2.1), где

. Функция

на интервале

возрастает, непрерына, положительна. Поэтому, согласно (1),

. Функция

является первообразной для функции

, так как

. Поэтому

. Левая часть двойного неравенства доказана. Правая часть получается из соотношения (2.2) для функции

при тех же предположениях.
При решении задачи 1 мы использовали тот факт, что площадь криволиней-ной трапеции, ограниченной графиком непрерывной, положительной, возрастаю-щей на [a,b] функции

, отрезком [a,b] оси x и прямыми

, заключена между площадями прямоугольников, построенных на [a,b] как на основании, с высотами

и

соответственно.
Площади прямоугольников дают, вообще говоря, довольно грубые приближения для площади криволинейной трапеции. Более точные оценки получаются путем разбиения отрезка [a,b] на достаточно большое число частей.
Задача 2.2. Пусть

. Доказать, что для каждого

.
Решение.
Рассмотрим

и функцию

. Она непрерывна, положительна и убывающая. Воспользуемся неравенством (2.3), где

. (Точки

делят отрезок

на отрезки одинаковой длины

). Получим

Отсюда

. Кроме того,

, т.е.

.
В приведенном решение выражение для

легко представлялось в виде площади некоторой ступенчатой фигуры. Чтобы воспользоваться рассмотренным в задаче методом доказательства неравенств, чаще приходится предварительно преобразо-вывать выражения, встречающиеся в неравенствах.
Задача 2.3. Доказать, что для каждого натурального n

.
Решение.
Левую часть неравенства при

можно представить в следующем виде:

Рассмотрим функцию

на отрезке

.Этот отрезок точками

, разбивается на n равных частей длины 1. Выражение

равно сумме площадей прямоугольников, построенных на отрезках

как на основаниях с высотами

. Функция

при

положительна, непрерывна, убывающая. Поэтому можно воспользоваться неравенством (2.3). Имеем

Заметим, что при

неравенство очевидно.
2.2. Монотонность интеграла
Из определения интеграла вытекает, что для неотрицательной непрерывной на отрезке [a,b] функции f

для всех

.
Теорема 1. Пусть функции f и g непрерывны на отрезке [a,b] и для всех

. Тогда для всех

:

. Это свойство называют монотонностью интеграла.
С помощью теоремы 1 почленно проинтегрировав обе части неравенства, можно получить целую серию новых неравенств. Например,
при

имеем очевидное неравенство

. Применим теорему 1, положив

. Функции f, g удовлетворяют условиям теоремы на промежутке

. Поэтому для произвольного

:

, т.е.

(1). Применяя тот же метод к неравенству (1), получаем

, или

. Отсюда

. Продолжая аналогично, имеем

,

и т.д.
В рассмотренном примере выбор исходного неравенства не составил труда. В иных случаях этот первый шаг решения задачи не столь очевиден. Теорема 1 дает, по существу, прием для получения исходного неравенства.
Пусть требуется проверить истинность неравенства

(2.4)
Если справедливо соотношение

, то согласно теореме 1, имеет место и неравенство

, или

(2.5).
Если имеет место неравенство

, то, складывая его почленно с (2.4), устанавливаем справедливость неравенства (2.5).
Задача 2.4. Доказать, что при

. (2.6)
Решение.
Неравенство (2.6) перепишем в виде

. Левая и правая части последнего неравенства представляют собой функции от

. Обозначив

, получим

(2.7). Докажем, что (2.7) выполняется при

. Найдем производные обеих частей неравенства (2.7). Соответственно имеем: