Решение иррациональных уравнений (стр. 2 из 3)

Разложим левую часть второго уравнения на множители: - и подставим в него из первого уравнения . Тогда получим систему, равносильную второй:

Подставляя во второе уравнение значение v, найденное из первого , приходим к уравнению , т.е. .

Полученное квадратное уравнение имеет два корня:

и .

Соответствующие значения v таковы:

и . Переходя к переменным х и у, получаем: , т.е. , , , .

Преобразование иррациональных выражений.

Если знаменатель дроби содержит иррациональное выражение, то часто целесообразно избавиться от последнего.

Рассмотрим некоторые типичные случаи:

Пример:

При непосредственном возведении в квадрат обеих частей уравнения уравнение должно быть сначала преобразовано так, чтобы в одной части стояли только радикалы, а в другой – остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если радикалов в уравнении два. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования (приведение подобных и т.п.). Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал (теперь он будет только один!) – в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов.

Пример. Введение новой переменной:

.

Решение: Обозначим

, тогда

Уравнение примет вид:

Возведём его в квадрат:

Это уравнение так же возводим в квадрат:

Проверка: полученные значения t мы должны проверить в уравнении (1), так как именно оно возводилось в квадрат. Проверка показывает, что

- посторонний корень, а - действительно корень уравнения (1). Отсюда получим:

Ответ: 0;-1.

Уравнения с радикалом третьей степени.

При решении уравнений, содержащих радикалы 3-й степени, бывает полезно пользоваться сложением тождествами:

Пример 1.

.

Возведём обе части этого уравнения в 3-ю степень и воспользуемся выше приведённым тождеством:

Заметим, что выражение стоящее в скобках равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим:

Раскроем скобки, приведём подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни

и . Если считать (по определению), что корень нечётной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения.

Ответ:

.

Решение 2

Возведём две новые переменные

и , тогда ,

.

Заметим, что

.

В итоге получим систему уравнений:

Используя первоначальные уравнения системы, преобразуем вторые, заменив первую скобку единицей, а вторую подставим вместо неизвестного у выражение

, также полученное из первого .

Приведём подобные члены, раскрыв предварительно скобки и решив полученное квадратное уравнение. Его корни

и . Вернёмся теперь к начальной подстановке и получим искомые решения:

Введение нового неизвестного.

Решив эти уравнения, найдём радикалы более высоких степеней, но наиболее часто использовавшийся способ их решения – введение нового(новых) неизвестного.

Пример 2.

Обозначим

, тогда

а)

Уравнение примет вид:

Корень

не удовлетворяет условию

Ответ: 76.

Методы решения иррациональных уравнений.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо равносильно исходному, либо является его следствием. Поэтому существуют два пути при решении иррациональных уравнений:

1) переход к выводным уравнениям (следствиям) с последующей проверкой корней;

2) переход к равносильным системам.

Второй подход избавляет от подстановки полученных корней в исходное уравнение (иногда такую проверку осуществить нелегко) и, вообще говоря, является более предпочтительным. Однако если в ходе решения оказалось, что проверка полученных корней не представляет труда, то можно не выяснять источники появления посторонних корней и не переходить к равносильным системам.

Пример 1.

Возведём в 6 степень:

Проверка:

, т.е. - верное равенство.

Ответ: 67.

Пример 2.

Преобразуем уравнение к виду:

и возведём обе части в квадрат: