* Алгебры и их применение (стр. 4 из 13)

Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π1

….. πn , где πi неприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ<q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄

π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение π = π1

….. πn не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ1, ρ2 – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют с π(А). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий ρ1 и ρ2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1 и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из πi . Итак, перегруп- пировав πi , получаем, что π = ν1

….. νm, где каждое νi есть кратное ρiνi΄ неприводимого представления νi΄, и νi΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих νi, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных νi΄. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ1ν1΄

….. ρmνm΄ представления π, (где ν1΄,…, νm΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρi и классы представлений νi΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: Т

В, Ø В, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.

Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε = ((H(t))t

T, Г), где (H(t))t T – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г – векторное подпространство

Н(t);

существует последовательность (х1, х2,…) элементов Г таких, что для любого t

T элементы хn(t) образуют последовательность H(t);

для любого х

Г функция t→||x(t)|| μ – измерима;

пусть х – векторное поле; если для любого y

Г функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то х Г.

Пусть ε = ((H(t))t

T, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если х Г и ||x(t)||2 dμ(t) < +∞.

Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λ

С) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) =

(x(t), y(t)) dμ(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое

x(t)dμ(t).

Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))t

T, Г) – измеримое поле гильбер- товых пространств на Т. Пусть для любого t T определен оператор S(t) L(H(t)). Если для любого х T поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, μ - положительная мера на Т, t→Н(t) - μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого t

T задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого х

А поле операторов t→π(t)х измеримо.

Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого х

А можно образовать непрерывный оператор π(х)= π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост- ранстве Н = Н(t) dμ(t).

Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, y

А имеем

π(х+y) =

π(t) (x+y) dμ(t) = (π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) = π(t) (x )dμ(t) +

+

π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)

Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π =

π(t) dμ(t).

Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)

L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н= Н(t)dμ(t).

Пусть ε = ((H(t))t

T, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ1 – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)= . Тогда отображение, которое каждому х Н== Н(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t)-1/2х(t)Н1= Н(t) dμ1(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.

Действительно,

||

ρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 = ||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) = ||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =

Н(t) dμ(t) , π1== π(t )dμ(t),