* Алгебры и их применение (стр. 11 из 13)
Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Рх ≠ 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1
р (Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0 
р (Р). Итак, (Р) = 
р (Р) = {0, 1}.1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.
1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Нк – область значений оператора Рк к = 1,2. Обозначим через А = Р1 + Р2 и найдем
(А).1) Р1 = Р2 = 0, то для любого х
Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0 
(А).2) Р1 = 0, Р2 = I, то для любого х
Н2 = Н Ах = х, то есть 1 (А).3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х
Н1 = Н Ах = х.4) Р1 = Р2 = I, то для любого х
Н1 = Н2 = Н Ах = Р1х + Р2х = 2х, то есть 2 (А).Таким образом, если dimH =1, то
(А) 
{0, 1, 2}.1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.
1) х
Н0,0 , тогда Ах = 0 и 0 
(А).2) х
Н0,1 или х Н1,0 , тогда Ах = х и 1 (А).3) х
Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2 (А).Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j ≠ {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Нi,j
Нk,l = H. В этом случае (А) 
{0, 1, 2}.Пусть теперь Нk,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р1 и Р2, тогда АL
L. Пусть х 
L, тогда Рkх = λкх (k = 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то возможны случаи:λ1 = 0, λ2 = 0;
λ1 = 0, λ2 = 1;
λ1 = 1, λ2 = 0;
λ1 = 1, λ2 = 1;
Но это означает, что
k,l = 0,1 такие, что Нk,l ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.Р1 =
, Р2 
τ (0, 1)Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 + bР2, a и b
С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР1 + bР2 – λI) = 0. 
(1.1.)Тогда
, 
(1.2)Положим a = 1, b =1, ε =
, тогда λ1 = 1+ε , λ2 = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ<1.Тогда
(А) 
{0, 1, 2} 
{1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =К
L, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k 
K, l L. Пусть λ (А), тогда Ах = λх =λk +λl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0 = Н0,0, Н1=Н0,1
Н1,0, Н2=Н1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφк φк 
(0, 
), (к = 1,…, s). При этом операторы Р1 и Р2 неприводимы в Нφк (к = 1,…, s), и собственные значения 1+εк, 1-εк входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространстваНφк = Н1+εк
Н1-εк , причем dimН1+εк = dimН1-εк = 1 (1.3)Если φк ≠ φi, то εк ≠ εi (так как εк =
=cosφк и φк (0, 
)). Объединим все Нφк , у которых одинаковые φк , в одно слагаемое, и обозначим его через Нφк. При этом, если dimНφк = 2qk, то есть Нφк состоит из qk экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нφк = Н1+εк Н1-εк , dimН1+εк = dimН1-εк = qk.Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда
(А) {0, 1, 2} 
( 
{1+ε , 1-ε}), 0<εк<1,причем dimН1+εк = dimН1-εк к = 1,…, m.
Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2, тогда его спектр был найден выше:
(А) 
{0, 1, 2} 
( 
{1+ε , 1-ε}), где 0<εк<1для любого к = 1,…, m.Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть
dimН1+εк = dimН1-εк . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):