* Алгебры и их применение (стр. 10 из 13)
Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0
Н0,1 Н1,0 Н1,1 ( 
(С2 
L2((0, 
), dρк))) (2.4.)где ρ1 > ρ2 >… ρк меры на интервале (0,
), такое, что имеют место равенстваP1 = P1,0
P1,1 ( ( 
Iк )) (2.5.)Р2 = P0,1
P1,1 ( 
Iк )) (2.6.)Iк – единичный оператор в L2((0,
), dρк)Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств
Н = Н0,0
Н0,1 Н1,0 Н1,1 Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2 отвечает циклическое представление πF *-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF. При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μF на Т.
Пусть каждому вектору ξ
Н поставим в соответствие подпространство Нξ 
Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ, где х А. Ограничения операторов из π(А) на Нξ является циклическим представлением. Обозначим его через πξ, а соответствующую меру на Т через μξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μξ > μη (то есть μη абсолютно непрерывна по мере μξ).Если η
Нξ, то Нη 
Нξ, тогда πη – циклическое подпредставление πξ. Пусть Е Т и μξ (Е) = 0, тогда μη (Е) = 0, следовательно μξ > μη, а значит ξ>η.Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н =
Нηк. Пусть {ζi} – последовательность, в которой каждый из векторов ηi встречается бесконечное число раз. Определим ξк индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:ξк+1 – максимальный вектор в (
Нξi)┴,d (ζк,
Нξi) ≤ 
.Тогда разложение Н =
Нξк такое что ξк>ξк+1 и μк>μк+1 .Пусть представления πμ в L2(Т, μ) и πν в L2(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2(Т, μ) →L2(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπμ(g)f = πν (g)vf = πν (g)a = ga. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a|2dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ =
(С2 
L2(Т, μк)), где μ1>μ2>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:P1 = P1,0
P1,1 ( ( Iк ))Р2 = P0,1
P1,1 ( Iк ))Iк – единичный оператор в L2((0,
), dρк).Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0
Н0,1 Н1,0 Н1,1 
С2 
Н(φ)dЕ(φ) (2.7.)в прямой интеграл инвариантных относительно Р1, Р2 подпространств и определенное на Т = (0,
) разложение dЕ(φ) единичного оператора I+=E(0, ) в Н+ = 
С2 
Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенствоP1 = P1,0
P1,1 I+ (2.8.)Р2 = P0,1
P1,1 
dЕ(φ) (2.9.)Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве
L2(R, dρк), где ρк зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов
§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то
(Р) = р (Р) = {0, 1}, где 
р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - λх = y, х, y
Н, λ С. Тогда (1 - λ) Рх = Рy . Если λ ≠ 1, то Рх = 
Рy. Если х ≠ 1, то х = 
( Рy - y), тогда 
(Р) = {0, 1}.