Лоренцева функция расстояния и причинность (стр. 1 из 2)
A.Н. Романов, Омский государственный университет, кафедра математического моделирования
Цель данной работы состоит в доказательстве следующего утверждения (далее через cl обозначаем замыкание, а через int - внутренность множества, остальная терминология взята из [1, 2]):
Теорема. Различающее пространство-время (M, g) является глобально гиперболическим тогда и только тогда, когда
удовлетворяет условию конечности расстояния для всех 
.Здесь через C(M, g) обозначен класс лоренцевых метрик на многообразии M, глобально конформных метрике g:
для некоторой гладкой функции 
.При доказательстве теоремы будем использовать следующее утверждение (см [1], теорема 3.30):
Лемма. Пространство-время (M, g) глобально гиперболично тогда и только тогда, когда когда оно сильно причинно и
удовлетворяет условию конечности расстояния для всех .Доказываемая теорема является модификацией данной леммы: условие сильной причинности ослаблено до условия различаемости пространства-времени (M, g).
Так как любое глобально гиперболическое пространство-время всегда является и различающим, то первая часть часть теоремы сразу вытекает из леммы: (M, g) глобально гиперболично
различающее и (по лемме) удовлетворяет условию конечности расстояния для всех .Таким образом, остается доказать обратное утверждение: условие конечности расстояния и различаемость (M, g) влекут его глобальную гиперболичность. В действительности же достаточно доказать, что (M, g) удовлетворяет какому-нибудь условию причинности, являющемуся не слабее условия сильной причинности пространства-времени (M, g). Тем самым мы покажем сльную причинность, а учитывая лемму, и глобальную гиперболичность (M, g). В качестве такого условия выберем причинную простоту (означающую, что пространство-время различающее, а причинное прошлое и будущее любой точки - замкнутые подмножества
замкнуты в 
).Тем самым доказательство теоремы сводится к доказательству следующего утверждения: различаемость пространства-времени (M, g) и условие конечности расстояния для всех метрик
влекут за собой замкнутость множеств J+p, J-q для всех 
Покажем, что множество J+p замкнуто для любой точки
(замкнутость J-p доказывается аналогично).Допустим обратное:
точка 
Возьмем в I+q произвольную точку r. Покажем, что множество 
не пусто. Так как 
, то 
- последовательность точек 
, сходящаяся к q (сходимость в исходной топологии многообразия M). Так как 
, а множество I-r открыто (см. [1], лемма 2.5), то для достаточно больших 
, т.е.qn<<r. Тогда из соотношений 
получаем: p<<qn т.е. 
Таким образом, имеем: множество 
не пусто.Получаем:
(т.к. 
).Покажем далее, что непустое замкнутое в M множество
не является компактным (наглядно это можно представлять как существование какой-то "выброшенной" из M области, в которую "упираются" некоторые причинные кривые, идущие из p в будущее или из r в прошлое).Вернемся к рассмотренной выше последовательности
(можно считать, что 
). Так как 
, то для любого 
существует причинная кривая 
, идущая из p в qn. Продолжим до непродолжаемой причинной кривой. Любая окрестность точки q содержит все точки qn, начиная с некоторого n. А так как 
, то q является точкой накопления последовательности причинных непродолжаемых кривых 
Отсюда следует (см.[1] предложение 2.18), что существует причинная непродолжаемая кривая 
, являющаяся предельной для последовательности и такая, что 
Выберем параметризацию так, что 
и 
, причем уменьшение параметра t кривой соответствует движению по ней в прошлое.Рассмотрим часть кривой
, идущую в прошлое от точки 
. Заметим, что для любой точки 
выполняется соотношение: 
. Действительно, т.к. -предельная кривая последовательности 
то существует подпоследовательность 
такая, что для любой точки 
каждая ее окрестность Ua пересекает все, за исключением конечного числа, кривые из 
. Взяв точки rm такие, что.: 
, получим сходящуюся к a последовательность 
. Если выполнено еще соотношение 
, то получим, что . В данном случае включение выполняется всегда. В самом деле, если 
, то это означает, что кривая (вместе с кривыми ) покинула область cl(J+p). Однако выйти из 
может лишь через точку p, так как все "фокусируются" в p (по их определению), а - предельная кривая для последовательности . Но такого быть не может, так как это означало бы существование отрезка (лежащего на кривой ), соединяющего точки p и q и являющегося частью причинной кривой ( -причинна), что противоречит выбору точки 
.Таким образом, мы показали, что
. Ясно, что выполнено также включение 
(т.к. из 
, т.е. 
) В результате имеем: 
. Рассмотрим последовательность точек an, где 
. Если бы множество 
было компактным, то бесконечная последовательность 
должна иметь хотя бы одну предельную точку. Покажем, что такой точки нет. Допустим обратное: пусть существует точка x и подпоследовательность 
такие, что любая окрестность Ux точки x содержит все точки am, начиная с некоторого m.