Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q) (стр. 2 из 2)

3. Доказательство теоремы 2

Пусть G=SU(p,q),

=su(p,q) , - е" подалгебра Картана, - минимальный инвариантный конус. Тогда:

Пусть

- внутренняя функция, такая, что степени многочленов P и Q минимальны.

1) Если

, то положим

Заметим, что функция F принимает значение ноль в какой-то точке единичного круга

. Действительно, если предположить противное, то функция будет аналитической в , в частности в (по принципу максимума модуля). С другой стороны, . Поэтому |F|=1, что противоречит многомерному принципу максимума модуля, поскольку ограниченная функция не может принимать значение, равное по модулю единице, во внутренней точке полугруппы л (рассматриваемой как область в ).

Заметим также, что внутренним автоморфизмом можно непрерывно перевести Ak1l1(z) в Ak2l2(z), а, значит, и A(z) в B(z). Далее, поскольку интеграл

есть целое число (равное числу нулей функции Fkl, ввиду ее аналитичности), и подынтегральная функция меняется непрерывно при переходе от матрицы Ak1l1(z) к Ak2l2(z), получаем, что этот интеграл имеет одно и то же значение для любых k и l. Точно так же будут совпадать интегралы

и . Если , то , т.к. B(z)=A11(zq).

Поскольку функция F имеет ноль внутри единичного круга,

. Значит, рациональная функция F имеет по крайней мере q нулей в . А это говорит о том, что степень многочлена P, стоящего в числителе , не меньше, чем q.

2) Если p>q, то оценим степень

через степень многочлена Q. Имеем: (см. (1.2)). Положив

и повторив вышеприведенные рассуждения с учетом того, что

, получим следующую оценку: . Таким образом, . Докажем теперь, что указанная оценка достигается.

Предложение. Пусть

. Тогда функция имеющая степень p, является внутренней на полугруппе Ольшанского над группой SU(p,p).

Доказательство.Пусть Z - квадратная матрица размером

. Тогда для матрицы X соответствующее ей отобpажение является аналитическим автоморфизмом области . Здесь E - единичная матрица размером p. Границей области является множество , которое разбивается на компоненты, различающиеся рангом матрицы (E-Z*Z), причем отображение ранг этой матрицы не меняет (см. [7]). Поэтому и при

Осталось доказать ограниченность модуля функции

на полугруппе Ольшанского. Каждая матрица представляется в виде , где , а . Поэтому . Отсюда

где Z=P(K+L)(M+N)-1Q-1. Заметим, что отображение (CZ+D)(AZ+B)-1 преобразует область E-Z*Z<0 в область E-Z*Z>0 и наоборот. Поэтому, чтобы доказать ограниченность Ф(X), достаточно показать, что E-Z*Z<0, т.е. что все собственные числа матрицы Z*Z больше или равны единице. А это действительно так ввиду того, что диагональные матрицы P и Q-1 состоят из чисел, больших или равных единице, а матрица (K+L)(M+N)-1 унитарная.

Для матриц из SU(p,q) при p>q требуемый пример получается ограничением указанной функции

на группу SU(p,q).

Списоклитературы

Ol'shanski

G.I. Invariant cones in Lie algebras, Lie semigroups, and the holomorphic discrete series // Funct. Anal. Appl. 15 (1982), 275-285.

Lawson J.D. Semigroups of Ol'shanski

type // <<Semigroups in algebra, geometry and analysis>>/ ed. Karl H. Hofmann... - Berlin; New York : de Gruyter, 1995.

Рудин У. Теоpия функций в поликруге. М.: Миp, 1974.

Koranyi A., Vagi S. Rational inner functions on bounded symmetric domains // Trans. Amer. Math. Soc., 254 (1979), 179-193.

Попов В.Л. Группы Пикара однородных пространств // Известия АН СССР. Сер. математическая. Т. 38. ò2. Март-апрель (1974). С. 296.

Владимиров В.С., Сергеев А.Г. Комплексный анализ в трубе будущего // Соврем. проблемы математики. Фунд. направления. Т. 8 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М.: 1985, С.191-266.

Пятецкий-Шапиро И.И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961.