С.В. Никитин, Омский государственный университет, кафедра математического анализа
1. Введение
В 1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и

ее алгебра Ли, то для элемента X из подалгебры Картана

алгебры

выполнено равенство

где

- ортогональная проекция (относительно формы Киллинга);

- группа Вейля алгебры

,

означает выпуклую оболочку множества A.
Теорема Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ

эрмитовой матрицы A=(aij) порядка n с собственными числами

содержится в выпуклой оболочке множества

, где Sn - симметрическая группа, действующая на

перестановками координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может быть получена таким способом.
Таким образом, проекция орбиты

- это выпуклый многогранник с вершинами в точках

. В 1982 г. Guillemin и Stenberg [2], а также Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы Костанта как теоремы о выпуклости отображения моментов. Следующий естественный шаг - нахождение проекции инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана. Существует формула Duistermaat-Heckman'а [4, 5] для преобразования Лапласа проекции инвариантной меры, по которой она может быть восстановлена, но представляет интерес и прямая геометрическая конструкция для нахождения проекции инвариантной меры, которая предложена в этой статье.
2. Предварительные сведения
Пусть

- конечномерная вещественная простая компактная алгебра Ли,

- ее подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры

действует на

с помощью коприсоединенного представления

:

, где

,

. Определим орбиту элемента

:

На каждой орбите

существует единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера

, т.е. такая, что для любой непрерывной функции

и для любого

Пусть

ортогональная проекция. Определим проекцию меры

на

- это мера

, задаваемая соотношением:

где

- финитная непрерывная функция на

. Мера

абсолютно непрерывна и

, где

- плотность проекции меры

. Нахождению плотности

и посвящена эта статья.
Введем некоторые обозначения:

- система корней алгебры

,

- множество положительных корней,

- их полусумма. Пусть

- решетка весов алгебры

, кроме того, пусть

обозначает множество

, где

- камера Вейля.

представляет собой множество всех старших весов

. Каждому неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес

. Если

- характер этого представления, то формула Кириллова утверждает, что

где

Интеграл в правой части формулы Кириллова можно понимать как обратное преобразование Фурье от функции

:

Таким образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:

или

Пусть

неприводимое представление

. Обозначим множество весов

как

. Если

, то

обозначает кратность веса

в представлении

. Известно, что

Поэтому, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, получаем:

где

- дельта-функция в точке

. Найдя функцию

, мы получим выражение для функции

:

или

Точное выражение для функции

в дальнейшем не требуется, нам достаточно знать, что это положительная, финитная, кусочно-непрерывная функция.
3. Функция
В этом разделе мы определим функцию

, через которую выражается функция

, а также укажем некоторые ее свойства.
В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: d - ранг алгебры, т.е. размерность подалгебры Картана

, s - число положительных корней, r - разность s-d, которая строго больше нуля для всех алгебр Ли (кроме алгебры A1). Для того чтобы определить

, мы рассмотрим систему положительных корней

как проекцию набора из s попарно ортогональных векторов. Остановимся на этом более подробно.