Пусть

, где

- векторное пространство, порожденное

, т.е. линейная оболочка множества

,

. Рассмотрим некоторое векторное пространство L, в которое

вложено как подпространство векторов, имеющих ненулевыми первые d координат. Имеется естественная ортогональная проекция

. Нетрудно проверить, что если выбрать подходящую (достаточно большую) размерность пространства L, то в L можно найти набор из s векторов

таких, что (ei,ej)=0, если

и, кроме того,

. Пространство V - линейная оболочка векторов

, которые образуют в нем ортогональный базис. Введем следующее обозначение:

V+ - это конус в пространстве V, порожденный векторами

. Определим на

функцию

следующим образом:

где mes - мера Лебега на

.
Замечание. В случае алгебры Ли A1 множество

0-мерно. В этом случае можно считать, что функция

имеет следующий вид:

Функция

определена всюду в

, непрерывна, кусочно-полиномиальна и определяется алгеброй

с точностью до пропорциональности, т.е. при выборе другого базиса

функция

лишь умножается на константу.
Можно рассматривать функцию

как непрерывное продолжение дискретной функции Костанта. Функция Костанта

, где

- решетка корней алгебры;

- это число способов представить

в виде суммы положительных корней, Q(0)=1. Пусть

- решетка в V. Тогда

равно числу элементов в множестве

, а

- это мера или объем

. Для примера функция Костанта

и функция

для алгебры Ли A2 связаны следующим образом:

,

. Формула Костанта для кратностей весов в неприводимом представлении со старшим весом

такова:

4. Основной результат
Теорема. Пусть

. Тогда проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления, проходящей через точку

, имеет плотность

:

Кроме того, функция

является непрерывной, кусочно-полиномиальной, инвариантной относительно действия группы Вейля

функцией, носитель которой содержится в множестве

.
НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Докажем равенство (*) для

. Сечение

орбиты

, проходящее через точку

, имеет размерность r, поэтому

. Таким образом, мы получаем:

Для вычисления

используется формула Костанта для кратностей весов. Если

, то

Затем обе части равенства умножаются на непрерывную финитную функцию

, интегрируются по

и, наконец, n устремляется к бесконечности (при этом сумма в правой части рассматривается как интегральная сумма). После некоторых преобразований получается следующее равенство:

Так как это верно для любой непрерывной функции

, то получаем (*) для всех

После этого, используя однородность функции

, (*), доказывается для всех

,

, где

,

, а затем, используя предельный переход, и для всех

. Непрерывность и кусочно-полиномиальность следуют из соответствующих свойств функции

.
Докажем инвариантность относительно действия группы Вейля, т.е. равенство

. Так как для функции j(X) выполнено равенство j(wX)=j(X), то верно и

. Далее, если

, то

Затем равенство

доказывается для всех

. Из равенства (*) легко получить, что

. Так как функция

-инвариантна, то

.
Списоклитературы
Kostant B. On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. N.6. С.413-455.
Guillemin V., Stenberg S. Convexity properties of the moment mapping // Invent. Math. 1982. N.67. С.491-513.
Atiyah M. Convexity and commuting hamiltonians // Bull. London Math. Soc. 1982. N.14. С.1-15.
Duistermaat J. J., and Heckman G. J. On the variation in the cohomology in the symplectic form of the reduced phase space // Invent. Math. 1982. N.69. С.259-268.
Neeb K.-H. A Duistermaat-Heckman formula for admissible coadjoint orbits, preprint.