Н.Л. Шаламова, Омский государственный университет, кафедра математическогомоделирования,
644077 Омск, пр. Мира,55-A
Изучение упорядоченных аффинных пространств An, n>2, связано, как известно, прежде всего с основаниями теории относительности [1]. Следуя же квантовой теории, мы не можем распространять причинно-следственные связи на явления микромира и поэтому вынуждены рассматривать так называемые "несвязные порядки". Предполагая при этом, что скорость передачи взаимодействия и в микромире ограничена, автор получает результаты, изложенные в данной статье.
Рассмотрим в n-мерном аффинном пространстве An, n>2, несвязный порядок

, заданный семейством

подмножеств An, для которого выполнены условия: (1)

; (2) если

, то

; (3) если

, то

. Несвязность порядка

означает, что

. Предполагаем далее, что верно следующее: (i)

; (ii)

для любой

.
Замечание 1. Для любого множества A, будем через

, int A, и

обозначать соответственно замыкание, внутренность и границу множества A.
Назовем внешним конусом множества Px следующее множество:

где lxy - луч, идущий из точки x и проходящий через точку

. Считаем далее, что Cx - конус "с острой вершиной", то есть не содержит прямой. Известным является факт [1], что семейство

внешних конусов задает порядок в An.
Гомеоморфизм

, для которого f(Px)=Pf(x) для любой точки

, назовем порядковым

-автоморфизмом. Множество всех порядковых

-автоморфизмов будет группой, которую обычно обозначают

. Подгруппа группы

, сохраняющая фиксированную точку

, обозначается

.
Порядок

называется

- однородным или гранично однородным, если для любых

найдется

такой, что f(x)=y.
Имеет место следующая
Теорема. Пусть

, n>2, инвариантной относительно группы параллельных переносов несвязный порядок в n-мерном аффинном пространстве An, для которого выполнены условия:
(1) существует семейство

равных и параллельных телесных одинарных замкнутых выпуклых конусов с острой вершиной такое, что

для любых

и

;
(2) порядок

- гранично однородный.
Тогда любой порядковый

-автоморфизм будет аффинным преобразованием.
Доказательство .
Для любой точки

рассмотрим следующее множество

где объединение берется по всем

-автоморфизмам f из стабилизатора

таких, что f(v) = uo .
Нетрудно видеть, что

, так как тождественное преобразование id, очевидно, принадлежит

и для него имеем: id(u0) = u0,

и поэтому

. В частности,

,

, так как для любого

f(e) = e.
По условию (1)

и, кроме того, если

, то

то есть семейство

сохраняется

-автоморфизмами из

.
Замечание 2. Не следует думать, что в определении множества

,

, f(v) = x точка v- фиксированная. Точка

, то есть v- точка из орбиты точки x, для которой определяется множество Dx.
Рассмотрим далее множества

Легко видеть, что

(здесь C-v, K-v- это конусы, центрально симметричные конусам Cv и Kv относительно точки v). В самом деле, для любой точки

,

имеем

(семейство

задает порядок в An). Поэтому для

, f(v) = u0 имеем

и

. Если же

то

и

. Это противоречит тому, что

. Значит

для любой точки

.
Отметим теперь следующее: каждое множество Dx содержит Cx, а каждое множество D-x- содержит конус C-x. Далее, поскольку Kx, K-x- выпуклые конусы с острой вершиной, то существует гиперплоскость Tx такая, что

,

, где

,

- полупространства, на которые Tx разбивает An. Утверждается, что в качестве Tx можно выбрать такую гиперплоскость, которая пересекает конус Cy,

по компактному множеству. Известно, что по отношению к замкнутому однородному выпуклому телесному конусу Ce с острой вершиной все гиперплоскости, имеющие с

непустое пересечение, можно разделить на три непересекающихся класса. К первому классу A1 отнесем все гиперплоскости, пересекающие

по компактному множеству. Во второй класс A2 попадут гиперплоскости, имеющие с

некомпактное пересечение и параллельные при этом какой-либо прямолинейной образующей конуса Ce, принадлежащей его границе

. Все остальные гиперплоскости будут принадлежать к третьему классу A3. Нетрудно видеть, что вышеупомянутая гиперплоскость Tx не может быть параллельна какой-либо гиперплоскости из класса A3. Это следует из того, что

, а

и также

,

, что противоречит выбору Tx.