Если же Tx параллельна гиперплоскости из класса A2, то

и

, что также противоречит выбору Tx. Значит Tx параллельна некоторой гиперплоскости из класса A1. Итак, пусть

- эта та самая гиперплоскость, о которой идет речь выше, то есть Te параллельна гиперплоскости Tv из класса A1 и разбивает An на два полупространства

и

такие, что

,

. Очевидно, что в этом случае найдется гиперплоскость Ty0, параллельная Te, такая, что

и множество

- компактно. Если теперь точка

, то

. Поскольку

и порядок

- гранично однородный, то для любой точки

будет верно следующее:

Действительно, вследствие граничной однородности порядка

для любых точек

найдется

такой, что f(p0) = q0 и, значит, f(D)-p0 = D-f(p0) = D-q0. Но

, поэтому

и, следовательно,

.
Покажем теперь, что наш порядок

будет максимально линейчатым, то есть для любой точки

имеем

. Предположим, что это не так и найдется точка

такая, что луч

не лежит полностью в Qe, то есть

.
Если

, то есть луч l+x0, за исключением точки x0 лежит вне Qe, поступим следующим образом: Пусть

,

точка, которая вместе с некоторым шаром

с центром в точке v0 положительного радиуса

лежит в

. Точка

, значит найдется

такое, что шар

имеет непустое пересечение с int Q. Выберем точку

. Нетрудно видеть, что для прямой lm, проходящей через точку m и параллельной лучу l+x0 число точек пересечения с

уже наверняка больше двух: первая точка лежит на отрезке [m1, m), где

, вторая точка лежит на отрезке (m, m2), где

, так как

,

,

. В этом случае в качестве точки x0 возьмем любую точку из множества

.
Пусть точка

. Тогда по доказанному выше

(см. (

)), но, поскольку

, множество

содержат, кроме точки w0 еще и точку x0, что, очевидно, противоречит (

). Значит порядок

- максимально линейчатый и в соответствии с результатами Э.Б.Винберга [2] и А.К.Гуца [3] любой порядковый

-автоморфизм

будет аффинным преобразованием.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть

, n>2, - несвязный порядок в An, о котором идет речь в теореме и, кроме того, семейство

внешних конусов порядка

является семейством равных и параллельных эллиптических конусов.
Тогда любой порядковый

-автоморфизм

будет преобразованием Лоренца.
Список литературы
Гуц А.К. Аксиоматическая теория относительности // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. N 2. C. 39-79.
Винберг Э.Б. Строение группы автоморфизмов однородного выпуклого конуса // Труды ММО. 1965. Т.13. С.56-83.
Гуц А.К. Порядковые и пространственно-временные структуры на однородных многообразиях : Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: Ин-т мат. СО РАН, 1987. 203 с.