Алгоритмы декомпозиции и перебора L-классов для решения некоторых задач размещения (стр. 1 из 2)

А.А. Колоколов, Т.В. Леванова, Институт информационных технологий и прикладной математики СО РАН

1. Введение

В [1] описаны алгоритмы для решения частично целочисленных задач производственно-транспортного типа, основанные на идее декомпозиции Бендерса и метода направленного перебора. В данной работе предлагаются декомпозиционные алгоритмы для простейшей задачи размещения (ПЗР), задачи о p-медиане [2, 8] и некоторых других постановок, в которых наряду с отсечениями Бендерса для решения целочисленной подзадачи используется лексикографический перебор L-классов [?]. Краткое сообщение о них имеется в [7].

Рассмотрим ПЗР в следующей постановке. Дано конечное множество пунктов возможного размещения предприятий и список клиентов. Предприятия производят однородный продукт в неограниченном количестве. Известны стоимости размещения предприятий в указанных пунктах и затраты на удовлетворение спроса каждого клиента. Требуется разместить предприятия и прикрепить к ним клиентов так, чтобы суммарные производственно-транспортные затраты были минимальны. Введем некоторые обозначения:

m - число пунктов возможного размещения предприятий, i - номер предприятия,

n - число клиентов, j - номер клиента,

ci - стоимость размещения предприятия в пункте i;

tij - затраты на удовлетворение спроса клиента j предприятием i (включающие издержки на производство и транспортировку);

xij - часть всей продукции, которую необходимо доставить с предприятия i клиенту j;

Обозначим

.

Мы используем следующую модель ПЗР:

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)

2. Алгоритм перебора L - классов

В [?] и других работах развивается подход к анализу и решению задач целочисленного программирования, основанный на регулярных разбиениях пространства Rn. Много результатов было получено с помощью L-разбиения.

Дадим определение L-разбиения. Пусть

, - символы лексикографического порядка. Точки являются L-эквивалентными, если не существует , такой что . Это отношение разбивает любое множество на классы эквивалентности, которые называются L-классами. L-разбиение обладает рядом важных свойств.

1) Каждая точка

образует отдельный L - класс. Остальные классы состоят только из нецелочисленных точек и называются дробными.

2) Если X ограниченное множество, то фактор-множество X/L - конечно.

3) L - разбиение согласовано с лексикографическим порядком, то есть для любого X все элементы X/L могут быть линейно упорядочены следующим образом:

для всех .

Если X ограничено, то X/L можно представить в виде

Рангом L - класса V называется число

, если V дробный L - класс и r(V) = n+1 для любой целой точки.

Алгоритм перебора L - классов основан на идее поиска элемента L - разбиения, непосредственно следующего за данным L - классом в порядке лексикографического возрастания (для задачи на минимум).

Пусть

. Рассмотрим этот метод более подробно для многогранника . Задача булева программирования (БП) имеет вид:

(5)

Соответствующая задача линейного программирования (ЛП) состоит в нахождении лексикографически минимального элемента множества M.

Пусть

и известен некоторый представитель . Сначала мы ищем соседний к V дробный элемент V' такой, что где r - ранг класса V, и x - некоторая точка из V'. Если V' будет найден, продолжаем процесс для V' вместо V.

В противном случае мы ищем V' такой, что

, - ранг V', . Если V' не может быть найден, мы уменьшаем (если это возможно) r' на 1 и продолжаем просмотр. Если V' будет найден, мы возвращаемся к началу процедуры и V' становится исходным L - классом.

Если не существует соседнего дробного L-класса, то либо мы получаем оптимум задачи БП, либо приходим к выводу, что задача не имеет решения. Процесс является конечным, так как M ограничено.

Опишем алгоритм перебора L - классов. Для простоты номер итерации будем опускать.

Шаг 0. Решаем исходную задачу ЛП. Если она не имеет решения или ее решение целочисленное, процесс завершается. В противном случае идем на шаг 1.

Шаг 1. Обозначим через

оптимальное решение задачи ЛП, которая рассматривалась на предыдущем шаге. Находим

Формируем задачу ЛП путем добавления к исходной ограничений

Ее целевая функция

. Находим решение x' этой задачи. Возможны случаи:

1)

, процесс завершается;

2)

, тогда, если

a) x'p < 1; если p=1, процесс завершается, в противном случае идем на шаг 2;

b) x'p = 1; идем на шаг 1.

Шаг 2. Находим максимальный номер

, такой, что . Формируем задачу ЛП, добавляя к исходной следующие ограничения:

ее целевая функция

. Находим решение x' этой задачи. Возможны варианты:

1)

, процесс завершается;

2)

, тогда возможны случаи:

a)

; если , процесс завершается, иначе и переходим на шаг 1.

В результате работы алгоритма перебора L-классов мы получаем лексикографически монотонную последовательность представителей L-классов множества M/L.

3. Декомпозиционный алгоритм

После фиксирования всех переменных zi мы получаем из (1)-(4) транспортную задачу T(z) и соответствующую ей двойственную задачу D(z) с переменными

, которая имеет вид

	(6)
	(7)
	(8)

Оптимальное решение этой задачи используется для построения отсечения Бендерса.

Опишем основные шаги декомпозиционного алгоритма.

Предварительный шаг. Формулируем исходную задачу целочисленного программирования P(1): найти лексикографически минимальное решение системы, состоящей из неравенства

и нескольких ограничений вида

	(9)

Обозначим z(k), x(k) , v(k), u(k) - оптимальные решения задач P(k), T(z(k)), D(z(k)) соответственно, и z(0), x(0) - лучшее из известных решений задачи (1)-(4) со значением целевой функции F(0).