Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций (стр. 1 из 2)

Н.В. Перцев, Омский государственный педагогический университет, кафедра математического анализа

1. Введение

В работе автора [1] предложена математическая модель, описывающая динамику численности некоторых популяций с ограниченным временем жизни особей. Модель представляет собой систему интегро-дифференциальных уравнений

с начальным условием

где

, а оператор имеет вид , .

В настоящей работе приводятся результаты изучения вопросов существования, единственности, неотрицательности и ограниченности решений системы уравнений (1) с начальным условием (2). Рассмотрены также достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения, которые применяются к исследованию вопроса о вырождении популяций. Для изучения поведения решений используются принцип сжимающих отображений, монотонный метод [2, с. 43] и свойства М - матриц [3, с. 132].

2. Основные результаты

Введем некоторые обозначения.Пусть

- длина вектора , - норма матрицы A = ( ai j ), [4, с. 196], A+ - матрица, составленная из элементов , Rm+ - множество векторов с неотрицательными компонентами. Если , то запись u>0 означает, что ui>0 при всех . Неравенства между векторами из Rm понимаются как неравенства между их комнонентами. Для фиксированного T>0 под C+T будем понимать пространство неотрицательных непрерывных на отрезке [0,T] функций с нормой , где K>0 - некоторая константа, [2, с. 11]. В системе (1) , при под понимается правосторонняя производная. Далее, , , , , . Функции предполагаются непрерывными в своих областях определения.

От системы уравнений (1) с начальным условием (2) перейдем к эквивалентной системе интегральных уравнений вида

где (Fx)(t) =

Здесь

при , h(t) = 0 при , - отрезок интегрирования, . Примем в дальнейшем, что выполнено следующее предположение :

H) элементы матрицы

определены, непрерывны и ограничены, ; функции удовлетворяют условию Липшица , , , где D - некоторое выпуклое подмножество Rm+.

Пусть M1 и M2 такие постоянные, что

, , . Зададим матрицы A,B,Q по формулам : , где при и при , , Q = I - A B, I - единичная матрица. Положим

(Lx)(t) =

где

. Тогда и для всех таких, что , верно неравенство .

Теорема 1. Пусть предположение H) выполняется на множестве D = Rm+. Тогда система уравнений (3) имеет единственное непрерывное решение x=x(t), определенное на

, и справедливы оценки , где .

Теорема 2. Пусть предположение H) выполняется на некотором прямоугольнике

и существует , такой, что . Тогда система уравнений (3) имеет единственное непрерывное, ограниченное решение x=x(t), определенное на , и справедливы оценки .

Теорема 3. Пусть предположение H) выполняется либо на множестве D = Rm+, либо на некотором прямоугольнике D = D0. Пусть, кроме того, f(0) = 0 и Q является невырожденной М - матрицей. Тогда система уравнений (1) имеет нулевое решение x(t) = 0, которое является экспоненциально устойчивым, иначе для всех

верно , где .

Приведем краткую схему доказательства этих теорем. В условиях теоремы 1 будем искать функцию w(t), удовлетворяющую неравенствам

. Выберем . Используя оценку , приходим к неравенству , где , . Имеем, что при (поэлементно). Единичная матрица I является невырожденной М - матрицей. В силу непрерывной зависимости найдется такое a0>0, что (I - A0(a0) B) также будет невырожденной М - матрицей. Используя свойства невырожденных М - матриц, получаем, что существует , такой, что верно неравенство . Отсюда следует, что при всех . Зафиксируем T>0 и обозначим через CwT множество всех функций , удовлетворяющих неравенству . Тогда из неравенств следует, что . Пусть множество . Для всех верно, что , где , , . Полагая , получаем, что отображение F является сжимающим. При доказательстве теоремы 2 функция w(t) ищется в виде w(t) = b0, где . Если существует , такой, что , то и является сжимающим отображением на CwT. Используя далее принцип сжимающих отображений, убеждаемся в справедливости утверждений теорем 1 и 2.