Симметрии многогранника системы независимости (стр. 1 из 2)

О.В. Червяков, Омский государственный университет, кафедра математического моделирования

1. Введение

Пусть E = { e1,e2,,en} - некоторое множество мощности n. Системой независимости на множестве E называется непустое семейство J его подмножеств, удовлетворяющее условию: если J

 и I , то I .

Множества семейства

называется независимыми множествами. Максимальные по включению множества из называются базисами.

Автоморфизмом системы независимости

называется такое взаимооднозначное отображение  множества E на себя, что (I){(e) | eI} для любого независимого множества I. Группу автоморфизмов системы независимости будем обозначать через Aut( ).

Пусть RE - евклидово пространство, ассоциированное с E посредством взаимоодназначного соответствия между множеством координатных осей пространства RE и множеством E. Иными словами, RE можно понимать как совокупность вектор-столбцов размерности n с вещественными компонентами, индексированными элементами множества E. Всякому S E сопоставим его вектор инциденций по правилу: xSe= 1 при eS , xSe= 0 при eS. Очевидно, что это правило задает взаимооднозначное соответствие между 2E и вершинами единичного куба в RE. Многогранник системы независимости

определим как P( ) = Conv(xI | I ). Ясно, что векторы инциденций независимых множеств системы независимости , и только они, являются вершинами многогранника P( ) [4].

Пусть PRE - произвольный многогранник. Симметрией многогранника P назовем такое невырожденное аффинное преобразование  пространства RE, что (P){(x) | xP}=P. Как известно, всякое невырожденное аффинное преобразование  определяется невырожденной (nn)-матрицей A и сдвигом hRE, то есть (x)=Ax+h при xRE [1]. Очевидно, что невырожденное аффинное преобразование  пространства RE является симметрией многогранника P(

) тогда и только тогда, когда для любого I существует такое J , что (xI) = xJ.

Симметрию с нулевым сдвигом будем называть линейной симметрией. Очевидно, что множество всех симметрий многогранника P является группой относительно суперпозиции отображений, а множество линейных симметрий - ее подгруппой. Группу симметрий многогранника P мы будем обозначать через S(

), а ее подгруппу линейных симметрий - через L( ).

Ранее в [3] была доказана изоморфность групп L(

) и Aut( ) для матроида , в [2] - изоморфность группы линейных симметрий многогранника паросочетаний и группы автоморфизмов соответствующего графа. Пользуясь аналогичными методами, легко доказать изоморфность групп L( ) и Aut( ) для произвольной системы независимости .

В настоящей работе показано, что группа симметрий многогранника системы независимости выписывается с помощью подгруппы L(

) и семейства некоторых специальных преобразований пространства RE.

Рассмотрим задачу комбинаторной оптимизации на системе независимости с аддитивной целевой функцией:

(1)

где ve0 - вес элемента eE. Пусть имеется симметрия многогранника P со сдвигом xH. Тогда задача (1) сводится к задаче, размерность которой не больше, чем E-H.

Ниже приведены понятия и факты, необходимые для дальнейшего изложения.

Пусть H

. H-отображением будем называть линейное невырожденное преобразование  пространства RE, удовлетворяющее условию: для любого I существует такое J , что (xI) = xJH, где под JH подразумевается симметрическая разность множеств J и H.

Без ограничения общности будем считать, что размерность многогранника P равна n, ибо в противном случае существует элемент eЕ, не содержащийся ни в каком независимом множестве и, следовательно, вместо E можно рассматривать множество E\{e} .

2. Структура группы симметрий системы независимости

Итак, будем считать, что у нас зафиксирована система независимости

на множестве E={e1,e2,,en}; RE-пространство, ассоциированное с E; P-многогранник системы независимости .

Так как 

, то для всякой симметрии  со сдвигом h найдется такое H , что h=xH. Таким образом, группу S( ) можно разбить на непересекающиеся классы , где SH - класс симметрий многогранника P( ), имеющих сдвиг xH. Это позволяет свести описание группы S( ) к описанию .

Лемма 1. Пусть SH, a 1 - аффинное невырожденное преобразование пространства RE. Тогда 1SH, если и только если существует такое 2L(

), что 1 = jj2.

Доказательство. Так как L(

) и SH являются подмножествами группы S( ), то j1 = jj2S( ). Очевидно, что j1 имеет сдвиг xH. Обратно, если j1  SH, то j2 = j-1j1S( ), причем с нулевым сдвигом. Следовательно, j2L( ).

Таким образом, наличие какой-либо (любой) симметрии из SH позволяет с помощью группы L(

) найти весь класс SH.

Лемма 2. Пусть j - невырожденное преобразование пространства RE. Преобразование jSH тогда и только тогда, когда j=j1j2, где

a j2 - H-отображение.

Доказательство. Прямыми вычислениями легко убедиться, что j1(xS) = xSH для любого SE, и j1-1=j1.

Если 2 - H-отображение, то для любого I

существует такой J , что 2(xI) = xJH. То есть 12(xI) = x(JH)H = xJ.

Следовательно,  = 12 - симметрия многогранника P и jSH.

Если же jSH, то для любого I

существует такой J , что (xI)=xJ. Следовательно, 2(xI) =1-1(xI) = 1-1(xJ) = 1(xJ) = xJH

Значит, 2 - H-отображение. Данная лемма дает возможность свести поиск представителя класса SH к поиску одного H-отображения. Причем, если H-отображений для данного H

не существует, то SH=.

Поиск H-отображения существенно упрощается с помощью следующего предложения.

Предложение 1. Матрица H-отображения  булева.