Аксиоматика теории множеств (стр. 7 из 9)

А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.)

u (u

x).

Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также множество; его будем называть множеством всех подмножеств множества х. В силу этой аксиомы,

x (M(P (х))).

Примеры.

P (0) = {0}.

P ({0}) = {0, {0}}.

P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.

Значительно более общим средством построения новых множеств является следующая аксиома выделения.

А к с и о м а S.

u (u

x & u

Y).

Таким образом, для любого множества х и для любого класса Y существует множество, состоящее из элементов, общих для х и Y. Следовательно,

Y (M (x ∩ Y)), т. е. пересечение множества с классом есть множество.

Предложение 5.

Y (Y

M (Y)) (т. е. подкласс множества есть множество).

Доказательство.

x (Y

Y ∩ x = Y) и

x (M (Y ∩ x)).

Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответствующий класс (предложение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих данной предикативной формуле A(у), есть множество.

Однако для полного развития теории множеств потребуется аксиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько определений.

Определения

Un (X) означает

z (

X &

y = z).

(X однозначен.)

Fnc (X) означает X

V2 & Un (X). (X есть функция.)

Y 1 X означает X ∩ (Y

V). (Ограничение Х областью Y.)

Un1 (X) означает Un (X) & Un (

). (X взаимно однозначен.)

X‘Y

Если существует единственное z такое, что

X, то z = X‘y; в противном случае X‘y = 0. Если Х есть функция, а у — множество из области определения X, то X‘y есть значение этой функции, примененной к у (В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функциональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соответствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае происходит введение некоторой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х‘Y вместо h (X, Y)).

X‘‘Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X‘‘Y есть область значений класса X, ограниченного областью Y.)

А к с и о м а R. (Аксиома замещения.)

x (Un (X)

u (u

v (

X & v

X))).

Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалентное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то область значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множеством, также есть множество.

Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных множеств.

А к с и о м а I. (Аксиома бесконечности.)

x (0

x &

u (u

{u}

x)).

Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0

x, и если и

x, то и

{и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0}

x, {0, {0}}

x, {0, {0}, {0, {0}}}

x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0, 1, … , n – 1}, то для любого целого п ≥ 0 будет выполнено п

х, и при этом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, …

Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), аксиому Р (пары), аксиому N (пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I (бесконечности) и семь аксиом существования классов В1—В7.

Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y =

x) ,т. е.

х (х

х). (Такой класс Y существует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х

х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокращенной, символике эта последняя формула записывается так:

X (M(X)

X)). Допустим M(Y). Тогда Y

Y, что, в силу тавтологии (A

A & &

A, влечет Y

Y. Отсюда по теореме дедукции получаем

M(Y)

Y), а затем, в силу тавтологии (B

(A &

A))

B , получаем и

М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных парадоксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-Форти).