Аксиоматика теории множеств (стр. 5 из 9)

Искомым классом Z в этом случае будет класс

.

(c) φ есть

x ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

x1… xn x ( W ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).

Применим сперва

X Z x1 … xn ( Z y ( X)).

при X =

и получим класс Z1 такой, что

x1 … xn ( Z1 x ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).

Теперь положим окончательно Z =

, замечая, что x ψ эквивалентно

x ψ.

Примеры. 1. Пусть φ (X, Y1, Y2) есть формула

u v (X = & u Y1 & v Y2). Здесь кванторы связывают только переменные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов, Z x (x Z u v (x = & u Y1 & v Y2)), а на основании аксиомы объемности, 1Z x (x Z u v (x = & u Y1 & v Y2)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву :

Определение.

x (x Y1 Y2 u v (x = & u Y1 & v Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2).

Определения.

X2 обозначает X

X (в частности, V2 обозначает класс всех упорядоченных пар).

…………………………………………………………………………………………………

Xn обозначает Xn-1

X (в частности, Vn обозначает класс всех упорядоченных n-ок).

Rel(X) служит сокращением для Х

V2 (X есть отношение).

2. Пусть φ (X, Y) обозначает Х

Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, 1Z x (x Z x Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y.

Определение.

x (x P (Y) x Y). (P (Y): класс всех подмножеств класса Y.)

3. Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу

v (X v & v Y).

По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности,

1Z x (x Z v (x v & v Y)), т.е. существует единственный класс Z, элементами которого являются все элементы элементов класса Y и только они.

Определение.

x (x (Y) v (x v & v Y)). ( (Y): объединение всех элементов класса Y)