Аксиоматика теории множеств (стр. 4 из 9)

Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что

xi xj ( W2 xj xi),

и тогда, в силу

X Z u v ( Z X),

существует класс W3 такой, что

xi xj ( W3 xj xi).

Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что

xi xj ( W φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Тогда, заменив в

X Z v1… vk u w ( Z X)

X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что

x1… xi-1 xi xj ( Z1 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Далее, на основании

X Z v1… vm x1… xn (

Z X)

там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что

x1 … xi xi+1 … xj ( Z2 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Наконец, применяя

X Z v1… vm x1… xn ( Z X)

(1)

там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что

x1… xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Для остающегося случая xi

Yi теорема следует из (1) и

X Z x v1… vm ( Z x X).

2. Предположим, что теорема доказана для любого k < s и что φ содержит s логических связок и кванторов.

(a) φ есть

ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

x1… xn ( W ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Теперь остается положить Z =

.

(b) φ есть ψ

θ. По индуктивному предположению, существуют классы Z1 и Z2 такие, что

x1… xn ( Z1 ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) и

x1… xn ( Z2 θ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).