Аксиоматика теории множеств (стр. 2 из 9)

Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.

1x y (у х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчиняв ее следующему условию.

Определение.

y (y 0).

Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозначения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}. Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов Х и Y, а не только для множеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не является множеством. Можно доказать, что

NBG 1Z((M(X)&M(Y)& u (u Z u = X u = Y))

(( M(X) M(Y))&Z=0)).

Этим оправдано введение пары {X, Y}:

Определение. (М(Х) & М(Y) &

u (и {X, Y} u = X u = Y))

(( M(X) M(Y)) & {X, Y} = 0).

Можно доказать, что

NBG x y u (u {х, у} u = x u = y) и NBG x y (M({х, у})).

Определение.

= {{Х}, {X, Y}}. называется упорядоченной парой классов Х и Y.

Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.

Предложение 3.

NBG x y u v ( ).

Доказательство. Пусть

= . Это значит, что {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Так как {х} {{x}, {x, y}}, то {x} {{u}, {u, v}}. Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v} {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} {{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y} = {u}, то х = и = у = v, в противном случае {и, v} = {х, у} и, следовательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ≠ u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.

Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упорядоченной n-ки.

Определение

= Х,

Так, например,

и

В дальнейшем индекс NBG в записи

NBG опускается.

Нетрудно доказать следующее обобщение предложения 3:

Аксиомы существования классов.

Эти аксиомы утверждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, существуют соответствующие классы всех множеств, обладающих этими свойствами.

А к с и о м а В1.

X u v ( X u v) ( - отношение).

А к с и о м а В2.

X Y Z u (u Z u X & u Y)

(пересечение).

А к с и о м а В3.

X Z u (u Z u X) (дополнение).

А к с и о м а В4.

X Z u (u Z v ( X)) (область

определения).

А к с и о м а В5.

X Z u v ( Z u X).