Шпора 2 по мат анализу (стр. 5 из 6)
равнялся бы нулю.
Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы Sn, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд
,расходится, так как
,35.Сходимость гармонического ряда.
-------(нету)
36.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
Теорема 1. (Признак сравнения).
Пусть для членов рядов
и 
имеет место неравенство
(8)
n=1,2,…
Тогда:
1. Если сходится ряд 
, то сходится и ряд
2. Если расходится ряд , то расходится и ряд .
Этот признак утверждает, что при выполнении условия (8) из сходимости ряда с большими членами вытекает сходимость ряда с меньшими членами, а из расходимости ряда с меньшими членами вытекает расходимость ряда с большими членами.
Теорема 2. (Предельный признак сравнения).
Пусть члены рядов и положительны и
Тогда ряды и одновременно сходятся или одновременно расходятся.
37.Признак сравнения.
Пусть даны два ряда с полжительными членами.
и 
Причем, каждый член ряда 
не превосходит соответствующего члена ряда 
, то есть 
для всех 
. Тогда· если сходится ряд
с большими членами, то сходится и ряд с меньшими членами;· если расходится ряд
с меньшими членами, то расходится и ряд с большими членами.Теорема остается верна, если соотношения между членами рядов выполняются не для всех
, а лишь начиная с некоторого номера 
.При использовании признаков сравнений чаще всего исследуемый ряд сравнивают с бесконечной геметрической пргрессией
, которая сходится при 
и расходится при 
, или с рядом 
, который сходится при 
и расходится при 
.38.Признак Даламбера.
Пусть l - предел отношения последующего члена un+1 ряда (1) к предидущему un при n®¥ , т.е.
Тогда,
если l < 1, то ряд l сходится,
если l > 1, то ряд l расходится,
Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.
Доказательство. Согласно определению предела переменной величины, равенство
означает, что, начиная с некоторого номера n, выполняются неравенства
где e - наперед заданное сколь угодно малое положительное число.
Рассмотрим три случая:
а) пусть l < 1 . Тогда всегда можно взять e настолько малым, чтобы выполнялось неравенство
l + e < 1
и, начиная с некоторого n , неравенство
где q = l + e , в силу чего (см. теорему 1) ряд (1) будет сходящимся;
б) пусть l > 1 . Выбираем e так, чтобы
e = l - 1 > 0
Тогда l - e = 1 и
т.е. ряд (1) расходится (см. теорему 1)
в) пусть l = 1 . Тогда ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся.
В самом деле, для гармонического ряда
который расходится, имеем,
С другой стороны, ряд
сходится, а для него также
потому что
Таким образом, доказано, что если
то ряд (1) сходится; если l > 1 , то ряд (1) расходится.
39.Интегральный признак Коши.
Пусть
- непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при 
. Тогда ряд 
и интеграл 
либо оба сходятся, либо оба расходятся.Доказательство. Ввиду монотонности при всех
выполняются неравенства 
. Интегрируя, получаем 
. Тогда 
, или 
. Поэтому если сходится, то 
. Тогда 
и 
, 
ряд сходится.Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда
. Взяв произвольное 
выберем так, чтобы 
. Тогда 
. Значит, сходится.40.Знакопеременные ряды.
Числовой ряд, члены которого имеют различные знаки, называется знакопеременным рядом.
Пусть дан знакопеременный ряд
. (1)
Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:
. (2)
Определение 1. Ряд (1) называется условно сходящимся, если сам ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин, расходится.
Определение 2. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сам ряд (1) сходится и ряд из абсолютных величин тоже сходится.
Теорема. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, сходится, то и сам ряд сходится (из абсолютной сходимости следует условная).
41.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.