Шпора 2 по мат анализу (стр. 3 из 6)
(13)которая называется интегральной суммой Римана функции f(х), соответствующей
данному разбиению отрезка [а, b] и выбору точек
.Теперь выясним геометрический смысл интегральных сумм Римана.
Пусть f (х) непрерывная на отрезке [а, b] функция, причем f (х)
0, 
.Произведение f(
)Dхi равно заштрихованной площади прямоугольника с основанием D х= хi - хi-1 и высотой f ( ).Тогда сумма
представляет собой сумму площадей n прямоугольников, с основаниями D хi и высотами f (
), i = 1, 2…, n. Здесь х0=а, хn = b.Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка [а, b] существует предел (14), то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейный трапеции.
24.Свойства определенного интеграла.
Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. Aк т. B.
1. Пусть сущ. определенный интеграл
сущ. определенный интеграл 
и справедливо равенство 
2.
Док-во:
3. Свойство линейности определенного интеграла:
1. Пустьф-ии
интегрируемы на 
*** 
2. Пусть
, то для любой произвольной постоянной 
- справедлива формула 
4. Аддитивность определенного интеграла:
Пусть ф-ия
интегрируема на большем их трех помежутков 
, тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:
Свойство монотонности.
1. Пусть ф-ия
неотрицательна на и интегрируема на нем, 
Док-во: В силу н-ва для ф-ий любая интегрируема ф-ия неотрицательна Þ любая последовательность интегрируемых сумм будет иметь неотрицательный предел Þ интеграл будет неотрицательным.
2. Пусть ф-ия
на , искл. конечн. точек, и интегрируема на , тогда 
Док-во: Из интегрируемости следует, что предел не зависит от выбора разбиения на
. Достаточно строить инт. разбиения так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме интегралов по частичным промежуткам, т.к **** 
Df Две ф-ии
, заданные на , значения которых различны на лишь в конечном ч. точек называются эквивалентными на этом отрезке.3. Инт. от эквивалентных ф-ий совп.
Пусть
эквивалентны и интегрируемы на , тогда 
(они не совпадают а интегралы совпадают).Д-во:
на лишь в конеч. ч. точек отр. , следовательно по 2му 
4. Пусть
на , кроме конечного ч. точек, инт. на , 
, то 
5. Пусть
инт-ма на Þ модуль ф-ии тоже интегрируем на и справедливо неравенство: 
6. Пусть
интегрируема на , , то существует М, такая что 
25.Интеграл с переменным верхним пределом.
Теорема о его непрерывности.
Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция
непрерывна на этом отрезке.
Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆хÎ[a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:
 |
 |
ax0x х+∆х b
 |
 |
Получим:
По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем
 |
…(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M. То выполняются неравенства:
(на этом следствие из теоремы закончилось)
получаем:
Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.
26.Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):
( в качестве числа х0 взято число а).
 |
В этом тождестве положим х=а и получим ,
Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид: