Цепные дроби (стр. 4 из 17)

Отметим, что разложение

возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части – процесс однозначный.

Рассмотрим пример разложения иррационального числа

.

Пусть

. Выделим из его целую часть. =3, а дробную часть –3, которая меньше 1, представим в виде , где .

Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем:

;

;

.

Если остановиться на этом шаге, то можно записать:

С другой стороны, из формулы для

видно, что =3+ . Поэтому , вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться.

Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется, называется периодической непрерывной дробью.

Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае – смешанной периодической.

Чисто периодическая дробь

записывается в виде , а смешанная периодическая в виде .

Итак,

разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, …) или (3, (3, 6)).

В общем случае разложения действительного иррационального числа

поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе выделения целой части после k–го шага, будем иметь:

так что

.

Числа

называются остаточными числами порядкаk разложения . В формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа .

Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную последовательность конечных непрерывных дробей.

Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных частных

и совершенно не зависит от того, является ли последним элементом или за ним следует еще элемент . Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей.

В частности, мы имеем:

1)

, причем ;

2)

, откуда следует несократимость подходящих дробей ;

3)

.

Сравним теперь подходящую дробь

и кусок разложения до остаточного числа . Имеем

,

откуда видно, что вычисление

по формально производится таким же образом, как вычисление по с тем лишь отличием, что в первом случае заменяется на , а во втором заменяется на . Поэтому на основании формулы можно сделать вывод о справедливости следующего важного соотношения

. (5)

По этой причине мы пишем также

, хотя не является здесь целым положительным числом.

При помощи формулы (5) можно вывести следующую теорему и расположении подходящих дробей разложения

.

Теорема: Действительное число

всегда находится между двумя соседними подходящими дробями своего разложения, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби.

Доказательство: Из формулы (5) следует

Но

, , так что

1) (

) и ( ) имеют одинаковый знак, а это значит, что находится между и ;

2)

, то есть ближе к , чем к .

Теорема доказана.

Так как

, то , и так далее; отсюда приходим к следующему заключению о взаимном расположении подходящих дробей:

1)

больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех подходящих дробей четного порядка;

2) подходящие дроби нечетного порядка образуют возрастающую последовательность, а четного порядка – убывающую (в случае иррационального

указанные последовательности являются бесконечными), то есть