Цепные дроби (стр. 12 из 17)

Докажем обратную теорему, которая носит имя Лагранжа.

Теорема Лагранжа: Всякая действительная квадратическая иррациональность изображается периодической непрерывной дробью.

Доказательство: Пусть

– действительный иррациональный корень квадратного уравнения

(1) с целыми коэффициентами a, b, c.

При разложении

в непрерывную дробь получаем

(2), где

– остаток

порядка k+1.

Подставляя выражение

из (2) в (1), получаем

(3), где

(4)

Отсюда, во-первых, видно, что

(5), во-вторых, можно непосредственным вычислением установить, что

(6).

Таким образом, дискриминант уравнения (3) такой же, как и дискриминант уравнения (1), откуда следует, что он отk не зависит.

Идея доказательства в дальнейшем заключается в том, чтобы показать, что при данном

коэффициенты

ограничены по модулю.

Если этот факт на самом деле имел бы место, то это означало бы, что коэффициенты, будучи целыми числами, могут принимать только конечное число различных значений. Вместе с тем и число возможных уравнений (3) было бы конечным, хотяk пробегает бесконечное множество значений. Но в таком случае и остатки

(которые определяются из (3)), число которых бесконечно, могли бы принять только конечное число различных значений. Поэтому должны были бы существовать остатки

с одинаковыми значениями, а это уже означает, что непрерывная дробь – периодическая.

Итак, докажем, что

ограничены по абсолютной величине. Достаточно сделать это для

, так как в силу соотношения (5), из ограниченности

уже как следствие вытекает ограниченность

, а в силу (6) – ограниченность

Как известно из свойств подходящих дробей,

или

, где

, откуда

Поэтому из первого равенства (4) имеем

Так как

, то

то есть

, а это и доказывает ограниченность

Этим и завершается доказательство теоремы Лагранжа.

Отметим без доказательства следующие свойства разложений квадратических иррациональностей:

1) при разложении квадратного корня и целого положительного числа, не являющегося полным квадратом, период начинается со второго звена;

2) чисто периодическая цепная дробь получается тогда и только тогда, когда квадратическая иррациональность больше 1, а сопряженная иррациональность лежит в интервале (-1; 0) (это свойство было доказано Э. Галуа в 1828 году. Он доказал также, что в случае чисто периодического разложения сопряженная квадратическая иррациональность имеет те же элементы, но расположенные в обратном порядке).

Примеры:

1. Составить уравнение, один из корней которого разлагается в периодическую цепную дробьx и найти соответствующую иррациональность x=((2, 6, 1)).

Решение: x=(2, 6, 1, x).

Составляем схему вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей.

2	6	1	x
1	2	13	15	15x+13
0	1	6	7	7x+6

Итак,

, откуда получаем:

Положительное решение этого уравнения дает искомую периодическую дробь.

((2, 6, 1))=

- квадратическая иррациональность. Заметим, что

>1, а

– иррациональность, сопряженная сx – лежит в интервале (-1; 0).

2. Составить уравнение, один из корней которого разлагается в периодическую цепную дробьx=(3, (2, 1)) и найти соответствующую иррациональность.

Решение x=(3, y), где y=(2, 1, y). Составляем схему для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей y:

2	1	y
1	2	3	3y+2
0	1	1	y+1

Следовательно,

. Так как y>0, то мы должны взять положительный корень этого уравнения

. Поэтому дляx имеем

. Таким образом, искомая дробь (3, (2, 1))=

. Для соответствующего квадратного уравнения имеем

, откуда получаем:

§4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида.

Рассмотренные до сих пор правильные бесконечные и конечные цепные дроби являются частным случаем бесокнечных и конечных цепных дробей общего вида:

(1),

когда в них принимается, что все

, а остальные