Предположение, что выполнены все три неравенства (2), привело нас к противоречию, поэтому по крайней мере для одной из трех подходящих дробей

,

,

, взятой в качестве

, должно выполняться неравенство (

).
Придаваяk различные значения, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих неравенству (

).
Докажем вторую часть.
Предположим, что при

,

неравенство (1)

удовлетворяется для бесконечного множества рациональных чисел

. Тогда для каждой такой дроби неравенства

, откуда, подставляя значение

, получаем

, а возводя в квадрат, получаем:

. Так как

, то при достаточно большом Q будем иметь:

и, следовательно, целое число

,

=

, что при целых
P и
Q не может иметь места. Полученное противоречие показывает, что неравенство (1) может иметь место только для конечного числа рациональных чисел

. Теорема доказана полностью.
Эта теорема была опубликована Гурвицем в 1891 году. Тот факт, что из трех соседних подходящих дробей по крайней мере одна даст приближение вида

, был доказан Борелем в 1903 году.
Последним теоремам можно дать и другое очень важное истолкование.
Рассмотрим для этого уравнение

, где

– любое действительное иррациональное число. Исключая тривиальное решение
x=y=0, это уравнение не может иметь решение в целых числах. Однако можно поставить задачу о приближенном его решении в целых числах, то есть о нахождении таких пар чисел
x(
x>0) и
y, чтобы:

или

.
Теорема Гурвица-Бореля показывает, что для

всегда существует бесконечное множество таких пар; если же

, то существуют такие действительные числа, для которых таких пар имеется лишь конечное множество.
Новая точка зрения получает в содружестве с методом Дирихле весьма значительное применение в теории диофантовых приближений.
§ 3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби.
Рациональные числа представляют собой корни уравнений первой степени вида

с целыми коэффициентами.
Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми являются те иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами; такие числа будем называть квадратическими иррациональностями.
Число

называется квадратической иррациональностью, если

– иррациональный корень некоторого уравнения

(1) с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.
При таком

, очевидно, будет
a 
0,
c 
0. Коэффициенты
a,
b,
c уравнения (1), очевидно, можно взять взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения

будем называть также дискриминантом

. Корни уравнения (1) равны

и

, так что любую квадратическую иррациональность

можно представить в виде

, где
P,
Q – целые, а
D (
D>1) – целое неквадратное число.
Второй корень уравнения (1)

будем называть иррациональностью, сопряженной с

.
В определении квадратической иррациональности особенно важно обратить внимание на то, что речь идет о квадратных уравнениях с целыми коэффициентами. Любое

является корнем квадратного уравнения и даже уравнения первой степени, например уравнений

,
x-

=0.
Примеры:
1)

– квадратическая иррациональность, так как

является иррациональным корнем уравнения

.
2)

– квадратическая иррациональность, так как

представляет собой иррациональный корень уравнения

. Здесь
P=–1,
Q=–3,
D=5.
3)

не является квадратической иррациональностью.
Действительно, корень любого квадратного уравнения с целыми коэффициентами имеет вид

, где
P,
Q,
D 
, причем
D>1. Если бы мы имели

=

, то, возводя это равенство в куб, мы получили бы, что

– рациональное число, а следовательно, рациональным являлся бы и

, а это не так.
Теорема: Всякая периодическая непрерывная дробь изображает квадратическую иррациональность.
Доказательство: Пусть

–смешанная периодическая цепная дробь, то есть

, где

– чисто периодическая цепная дробь.
Обозначим подходящие дроби к

и

соответственно через

и

.
Так как

, то, согласно формуле (5) из 1.1 этой главы,

. Выполнив необходимые преобразования, получаем:

.
Из этой формулы видно, что

удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Кроме того,

- число иррациональное, так как оно представляет бесконечную непрерывную дробь. Таким образом,

- квадратическая иррациональность. Но по той же формуле

, поэтому и

является, очевидно, квадратической иррациональностью, что и требовалось доказать.