Формула Шлетца (стр. 3 из 3)

+μ_jμ_tW_k^t+1/4μ_jλ_kμ_tW^t-1/4μ_jλ_tμ_kW^t+μ_jμ_ktW^t.

dg_jk=(λ_kλ_t+μ_kμ_t)W_j^t+(λ_jλ_t+μ_jμ_t)W_k^t+g_jktW^t, (7.2)

где g_jkt=1/2λ_jλ_kμ_t-1/2μ_jμ_kλ_t-1/4λ_kλ_tμ_j-1/4λ_jλ_tμ_k+1/4λ_jμ_kμ_t+1/4μ_jλ_kμ_t+λ_kλ_jt+λ_jλ_kt+

+μ_kμ_jt+μ_jμ_kt (7.3)

Таким образом, система величин {g_jk}образует двухвалентный тензор. Он задает в А₂инвариантную метрику g:

dS²=g_jkW^jW^k (6^’.4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6^’.4) соответствует при отображении fметрике:

dS²=2(θ²+W²) (6^’.5)

в R(p₁,p₂)

Из (6^’.5)вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6^’.6)

или (λ_jX^j)²+(μ_jX^j)²=1 (6^’.7)

Из (6^’.7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики gс центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.

V₁

V₂ рис.3.

Пусть g^jk=λ^jλ^k+μ^jμ^k (6.8)

В силу (2.7) имеем:

g^jtg_tk=(λ^jλ^t+μ^jμ^t)(λ_tλ_k+μ_tμ_k)=λ^jλ^k+μ^jμ^k=δ_k^j (6^’.9)

Таким образом, тензор g^jkявляется тензором взаимных к g_jk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора {λ^j}(вектора {μ^j})соответствует в метрике g полю основного ковектора {λ_j} (ковектора {μ_j}).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g.

Доказательство:

λ^jλ^kg_jk=λ^jλ^kλ_jλ_k+λ^jλ^kμ_jμ_k=1,

μ^jμ_kg_jk=μ^jμ^kλ_jλ_k+μ^jμ^kμ_jμ_k=1,

λ^jμ^kg_jk=λ^jμ^kλ_jλ_k+λ^jμ^kμ_jμ^k=0.

Таким образом, fзадает на А₂ структуру риманова пространства (A₂,g_f).

В работе <2> был построен охват объекта

γ_jk^l=1/2g^tl(g_tkj+g_jtk-g_jkt)

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г₂={λ_j,μ_j,Λ_jk,Μ_jk}

Он определяется формулой:

γ_jk^l=λ^lΛ_jk+μ^lM_jk+G_jk(λ^l-μ^l)+1/2(λ^l+μ^l)(μ_jμ_k-λ_jλ_k),

где G_jk=1/2(λ_jμ_k+λ_kμ_j).