Уравнения с параметрами (стр. 3 из 5)
2.1. Если
> 1, то решений нет.2.2. Если
≤ 1, то особое значение b = 0:2.2.1. Если b = 0, то решений нет.
2.2.2. Если b 
0, то х =
Ответ: при а = 0 или
> 1 и а 0 или а 0 b = 0 решений нет; при а 0 и
≤ 1 и b 0 х = Показательные уравнения с параметрами.
Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а f (x) = bφ(х) (*), где а > 0, b > 0.
Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:
1) При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.
2) При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D.
3) При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.
4) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D.
5) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно уравнению
logcaf(x) = logcbφ(x) (c > 0, c ≠ 1) на области D.
Пример. Решите уравнение: ах + 1 = b3 – х
Решение. ОДЗ уравнения: х
R, а > 0, b >0.1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла.
2) При а = b = 1, х
R.3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b3 – х = 1 или 3 – х = 0
х = 3.4) При а ≠ 1, b = 1 получим: ах + 1 = 1 или х + 1 = 0
х = -1.5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х
х = 1.6) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение
по основанию а, получим:
, х + 1 = ( 3 – х ) logab , 
Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;
при а = b = 1, х
R;при а = 1, b ≠ 1 х = 3.
при а ≠ 1, b = 1 х = -1
при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1
при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)
Логарифмические уравнения с параметром.
Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.
Пример. Решите уравнение 2 – log
(1 + х) = 3 logа 
- log ( х 2 – 1 )2Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.
Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:
logаа2 + log
( х2 - 1) = logа ( )3 + loga 
,logа ( а2 (х2 - 1)) = logа ((
)3 ),а2 (х2 - 1) = (х - 1)
,а2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1)
Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х - 1)
а2
= Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
а4 (х + 1) = х – 1
а4х + а4 = х – 1 х( 1 - а4 ) = а4 + 1Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то
Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть
Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:
, 
Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4 > 0, то есть при
а < 1.
Итак, при 0 < a < 1, x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения.
Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;
при а > 1 решений нет;
при 0 < a < 1
ГЛАВА 2
§1. Разработка факультативных занятий по теме.
В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде. Она рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при изучении темы "Квадратные уравнения", можно встретить следующие задания:
1) При каком р уравнение х2 – 2х + 1 = р имеет один корень ?
2) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения
х2 + ( р 2 + 4р – 5 ) х – р = 0 равна нулю ?
В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период вводится понятие "параметр". Основная задача – научить учащихся решать уравнения с одним параметром.
Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет это уравнение и какого вида.
На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:
1) на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.
2) на разрешимость на множестве: определить все параметры, при которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений на множестве М.
3) на исследование: для каждого параметра найти все решения заданной задачи.
Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура следующая:
Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений
с параметрами.
Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений
с параметрами.
Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных
уравнений с параметрами.
Занятие№4. Тест