Уравнения математической физики (стр. 9 из 19)
2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда
.3.
Оценим член :
- компактно. 
(13) 
(14)Изучим член :
Значит :
(15)(1) (2)
(16)(3) (4)
(17)(5) (6)
(18)Доказана первая часть теоремы.
Пусть (3) (4) имеет нетривиальное решение, тогда
Т.е.
Теорема доказана.
Разложение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ряд по собственным функциям.
- ограничено (1)
(2) 
(3) 
в 
Конечноразностные операторы.
Цель : Аппроксимация обобщенных производных конечноразностными операторами.
Пусть
- финитная в Q : 
(1)Аналог формулы интегрирования по частям :
Обозначим :
.Теорема.
Пусть
, тогда :1) если
, где 
, то : 
(3)и при этом :
(4)2) Если для
, то : 
Доказательство.(1ая часть теоремы)
Из теорем об аппроксимации функции f и её обобщённой производной осреднениями функции f и её обобщенной производной сооответственно следует, что достаточно доказать часть теоремы для финитной бесконечно диффреренцируемой функции.
(3) 
(4) 
- доказано (3) 
(применив неравенство Коши-Буняковского)
По теореме Фубини имеем неравенство :
Доказательство. (2-ая часть. )
Значит :
Доказательство теоремы 2.
Пусть
- ограниченная, односвязная область. 
.Q - симметрично относительно
, т.е. если 
, то 
. 
Обозначим :
Теорема 2.
Пусть
, тогда :1) если
, где 
, то : 2) если
, то : 
Указание. Для доказательства рассмотреть :
По определению обобщённой производной в (1) получаем :
, тогда : 
Локальная гладкость обобщённых решений.
ограниченная.Обобщённое решение :
, 
(3)Теорема 1.
Для любого
обобщённое решение u задачи (1) (2) 
независимо от гладкости границы, если правая часть из
, то обобщённое решение тоже гладко.Доказательство.
Достаточно доказать, что
в каждом из шаров : 
.Обозначим
.В качестве v для (3) возьмём :
