Уравнения математической физики (стр. 6 из 19)

Утверждение.

В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, т.е. такая система

,что .

Разложение по этому базису единственно, и :

.

Равенство Парсеваля.

.

Пространство

- сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом : можно взять систему экспонент (нормированную).

Разложение в сходящийся ряд :

Определим вид коэффициентов Фурье:

проинтегрируем по частям и получим :

, где

Получаем :

и следовательно :

F можно точно аппроксимировать линейными комбинациями экспонент.

Искомое множество - линейное пространство экспонент с рациональными коэффициентами.

След функции из Hk(Q).

Для функции из

понятие значения на (n-1)- мерной поверхности не определено.

Если

удовлетворяет условиям дифференцируемости, то :

определение следа функции на (n-1)- мерной поверхности.

Рассмотрим

-ограниченную область, .

- (n-1) - мерная поверхность, .

Пусть

Можно разбить на конечное число простых кусков, однозначно проецирующихся на координа тные плоскости и описывающиеся уравнением :

Для любой непрерывной функции след - её значение на поверхности, однозначно продолженое по непрерывности.

Так как f=0 вне области Q , то по формуле Ньютона-Лейбница :

Оценим :

Обе части умножим на

и проинтегрируем по D :

f- финитная.

Так как

может быть продолжена в финитным образом,

, причём

Существует последовательность

Отсюда следует фундаментальность последовательности следов в

- полное, следовательно - сходится,

Перейдём к пределу, получим :

Утверждение.

Определение

не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности .

Доказательство.

Пусть есть две последовательности

в .

Пусть

.

Следовательно, должны совпадать два предела в

.

Рассмотрим

Значит :

, и .

Если функция непрерывна в

и принадлежит , то её понятие следа как значения непрерывной функции и как предела совпадают.

Формула интегрирования по частям.

Пусть Q- ограниченная,

.

, - единичный вектор внешней нормали к .

Теорема Реллиха-Гординга.

Если

, то , если сходится в , то сходится в .

Пространство Соболева с большим показателем дифференцируемости k компактно вложено в ространство Соболева с меньшим показателем.

Пусть

- ограничена, , тогда : - компактно вложено в .

Множества, ограниченные в

, являются предкомпактными в .

Определение.

Предкомпактными называются такие множества, замыкания которых компактны.

Из любой ограниченной последовательности функций из

можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в .

Или : Для

можно выбрать , сходящуюся в .

Доказательство.