Тема. Теорема Гильберта-Шмидта.
Пусть

,
A - самосопряженный, ограниченный оператор;
H - унитарное, бесконечномерное полное сепарабельное пространство.
Лемма 1.
Пусть

- самосопряженный, линейный, ограниченный оператор, тогда все собственные значения - вещественные.
Доказательство.
Пусть

- собственное значение оператора
A, соответствующее собственной функции
x, тогда:

Лемма 2.
Пусть

- самосопряженный, линейный, ограниченный оператор, тогда собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство.
Пусть

- различные собственные значения оператора A, соответствующие различным собственным функциям

, тогда:

Значит, собственные функции ортогональны.
Дополнительные обозначения.
Рассмотрим квадратичную форму

- эрмитова и принимает только вещественные значения. Обозначим через

.
Лемма 3.

- норма оператора равняется супренуму от модуля квадратичной формы.
Пояснение:

,
т.е.

Доказательство.
1) докажем, что:

.

; отсюда:

.
2) докажем, что:

.

Лемма доказана.
Обозначим через

.
Лемма 4.
Пусть

- ограниченный, самосопряженный оператор в
H, тогда:
m и
M принадлежат спектру оператора
A:

.
Доказательство.
Вместо A рассмотрим A-mE (спектр сдвинется на m, и оператор станет неотрицательным):

Не ограничивая общности рассуждений: оператор A - неотрицательный.
2.

- докажем.

, и последовательность

, что:

. Рассмотрим:

(т.к.

, то член ограничен:

)

.
Получено:

и норма образа

.
A-ME - не может иметь ограниченный обратный оператор.
Определение.
Подпространство

называется инвариантным подпространством оператора
A, если из

следует

.
Лемма 5.
Пусть

- инвариантное подпространство ограниченного самосопряженного оператора
A, тогда:

- ортогональное дополнение к этому подпространству - тоже инвариантное подпространство того же самого оператора
A.
Доказательство.
Пусть

; докажем, что

.
Рассмотрим:

, где:

,

.
Лемма доказана.
Лемма 6.
Спектр компактного, самосопряженного оператора состоит из 0 и изолированных собственных значений конечной кратности.
Доказательство.
1. Докажем, что

всегда.
Пусть

, тогда существует ограниченный обратный оператор

.
Возьмем

.

переводит шар (не компактное множество) в себя. Получено противоречие.
2. Рассмотрим

Если

- собственное значение оператора
A, то (2) - имеет нетривиальное решение, и (1) - всегда разрешимо. По теореме Банаха - оператор
A имеет ограниченный обратный оператор.
Случай 1: (2) имеет нетривиальное решение, и (1) имеет решение не для всех правых частей, а только для тех, которые ортогональны решениям (2).
Случай 2:

; других ненулевых точек, кроме собственного значения, быть не может.
3. Докажем: все собственные значения ограничены.
Рассмотрим

, где:

- собственный вектор, соответствующий собственному значению

,

- собственный вектор, соответствующий собственному значению

,
тогда:

.
Получено противоречие.
Комментарии:

- 0 может быть собственным значением бесконечной кратности, а остальная часть спектра - из конечного числа собственных значений.
- 0 может не быть собственным значением, но тогда он - точка непрерывного спектра.
Окончательно: спектр состоит из изолированных собственных значений конечной кратности и 0.
Теорема Гильберта-Шмидта.
Пусть

- компактный самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис

, состоящий из собственных функций оператора
A.
Доказательство.
Оператор A - ненулевой, следовательно:

и

.
Значит,

можно определить как максимум, и
m ,
M- собственные значения. Можно найти наибольшее по модулю собственное значение

. Оно имеет конечную кратность, ему соответствует некоторое количество собственных векторов.
Проведем процесс ортогонализации, и получим

- подпространство собственных векторов оператора
A, соответствующих собственному значению

. Далее рассмотрим

- тоже инвариантное подпространство, и на нем
A - компактный, самосопряженный. Если
A на

не равен 0, на нем рассмотрим

. Найдем аналогично

и соответствующее ему

. Рассмотрим

и найдем собственное значение, если оператор - не 0. В результатет получены

.
Конец:
на каком-то ортогональном подпространстве оператор A обращается в 0, и получена конечная сумма , т.е.

.
иначе:

- ортогональная сумма подпространств совпадает с
H , т.к. иначе на ортогональной сумме рассматривается ортогональное дополнение, и находится ещё одно собственное значение.
Возможны 2 случая:
1) ортонормированный базис из элементов подпространств ( в этом случае система собственных векторов дополнняется до ортонормированного базиса элементами ядра оператора A):

;
2) бесконечный ортонормированный базис :

.