Уравнения математической физики (стр. 15 из 19)

Свойства пространств:

Теорема.

Пространство

-полно.

Доказательство.

Фундаментальная последовательность, переход к пределу в интегральном тождестве.

Пусть

через

Теорема 2.

Теорема 3.

-сепарабельно.

Доказательство - продолжение функции до финитной.

Теорема 4.

всюду плотно в

. Возьмем

Теорема 5.

Для

можно определить след :

и при этом:

Обобщенные решения смешанной задачи для

уравнения теплопроводности.

Определение.

Обобщенное решение

- называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если

выполняется интегральное тождество (4).

Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности (метод Фурье, метод разделения переменных).

- собственные значения;

- ортогональный базис в

;

- ортонормированный базис в

Будем считать:

при почти всех t интегрируема с квадратом в

Равенство Парсеваля:

f-измерима и

по неравенству Гельдера.

По теореме Лебега можно слева и справа проинтегрировать по t и поменять местами

Решение имеет вид:

Надо доказать сходимость в

Теорема.

ряд (6) сходится в пространстве

к некоторой функции

, которая является обобщенным решением задачи (1)-(3). При этом:

Доказательство.

Первый этап.

Предположим, что правая часть уравнения имеет вид:

, а начальная функция:

Рассмотрим:

-интегральное тождество выполняется.

Второй этап.

Третий этап. Доказательство фундаментальности последовательности

. Оценим модуль:

Интегрируем слева и справа:

Значит: последовательность фундаментальна и она сходится:

Переходим к пределу:

Надо доказать, что u - задает решение задачи.

При переходе к пределу выполняется интегральное тождество:

Теореме доказана. Из этой теоремы не следует единственность.

Единственность обобщенного решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Теорема.

Задача (1)-(3) может иметь не более одного обобщенного решения.

Доказательство.

Пусть

-обобщенные решения, оценим

- добавлена гладкость по t.

Условия, налагаемые на v:

Формула Кирхгофа.

Дополнительные обозначения:

пусть есть

- фиксируется. Обозначим :

- конус с вершиной в

Возьмем произвольную

Обозначим:

Выберем

и рассмотрим :

- вне цилиндра, но внутри конуса.

Обозначим через

- часть конической поверхности, ограниченной

- дважды непрерывно дифференцируема в открытом конусе. При этом :

- замыкание конуса.

Замечание:

- волновой оператор.

Рассмотрим вспомогательную функцию:

Рассмотрим:

. Заметим: