“Âñå òàê íàçûâàåìûå äîêàçàòåëüñòâà ïðîòèâ âîçìîæíîñòè àêòóàëüíî áåñêîíå÷íûõ ÷èñåë,— ïèñàë Êàíòîð,— îøèáî÷íû, ïîòîìó, ÷òî îíè çàðàíåå ïðèïèñûâàþò èëè, ñêîðåå, íàâÿçûâàþò ðàññìàòðèâàåìûì ÷èñëàì âñå ñâîéñòâà êîíå÷íûõ ÷èñåë. Ìåæäó òåì, áåñêîíå÷íûå ÷èñëà — åñëè òîëüêî èõ äîëæíî ìûñëèòü â êàêîé-íèáóäü ôîðìå — äîëæíû îáðàçîâàòü áëàãîäàðÿ ñâîåé ïðîòèâîïîëîæíîñòè ê êîíå÷íûì ÷èñëàì ñîâåðøåííî íîâûé ÷èñëîâîé âèä, ñâîéñòâà êîòîðîãî âïîëíå çàâèñÿò îò ïðèðîäû âåùåé è îáðàçóþò ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ, à íå íàøåãî ïðîèçâîëà èëè íàøèõ ïðåäðàññóäêîâ.”
Çàêëþ÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ïðèâåäåííîãî âûñêàçûâàíèÿ Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé ñóùåñòâà ìåòîäîëîãèè åãî íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Îíà ïîêàçûâàåò, ÷òî èçáðàííûé Êàíòîðîì ïóòü îáîñíîâàíèÿ íàó÷íîé ñàìîñòîÿòåëüíîñòè ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóòè, ìàòåðèàëèñòè÷åñêèì; îí ìîæåò áûòü ñîãëàñîâàí ñ èäåàëèçìîì (ñóáúåêòèâíûì èëè îáúåêòèâíûì — áåçðàçëè÷íî) òîëüêî íà ñëîâàõ, à íà äåëå ïðîòèâîðå÷èò åìó. Ñòðåìëåíèå Êàíòîðà îáîñíîâàòü ñ ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé âîçìîæíîñòü òàêîé ñîãëàñîâàííîñòè è îáóñëîâèëî äâîéñòâåííîñòü åãî ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé â ïîíèìàíèè ïðèðîäû ìàòåìàòèêè è å¸ ìåòîäîâ.
Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè âûøå òðóäíîñòÿìè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ â íåé áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè) ïîñòàâèâøèå ïîä ñîìíåíèå ó÷åíèå Ã. Êàíòîðà â öåëîì. Ýòè ïàðàäîêñû ñòàëè îáúåêòîì îñîáîãî âíèìàíèÿ ìàòåìàòèêîâ. È, êîíå÷íî, íå ñëó÷àéíî. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, åù¸ ïðè æèçíè Êàíòîðà åãî òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà ôóíäàìåíòîì âñåãî çäàíèÿ ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — äåéñòâåííûì îðóäèåì ðàçâèòèÿ ìíîãèõ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.
Ïåðâûé ïàðàäîêñ îáíàðóæèë ñàì Êàíòîð â 1895 ãîäó è ñîîáùèë î íåì â ïèñüìå ê Ãèëüáåðòó. ÷åðåç äâà ãîäà ýòîò ïàðàäîêñ îáíàðóæèë Áóðàëè-Ôîðòè; îí ñäåëàë åãî äîñòîÿíèåì âñåõ ìàòåìàòèêîâ.
Парадокс Бурали-Форти.
Ïóñòü Ð — ìíîæåñòâî âñåõ ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë. Ýòî ìíîæåñòâî âïîëíå óïîðÿäî÷åíî; ñëåäîâàòåëüíî, îíî îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå îðäèíàðíîå òðàíñôèíèòíîå ÷èñëî ð. Åñëè Ðð — ìíîæåñòâî ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë ìåíüøå ð, òî Ðð èìååò òîò æå ïîðÿäêîâûé òèï, ÷òî è Ð. Íî Ðð — îòðåçîê ìíîæåñòâà Ð, îïðåäåëÿåìûé ÷èñëîì ð. Ñëåäîâàòåëüíî Ð è åãî îòðåçîê Ðð ïîäîáíû äðóã äðóãó. Íî Êàíòîð äîêàçàë, ÷òî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî íå ìîæåò áûòü ïîäîáíî ëþáîìó ñâîåìó îòðåçêó.
 1899 ãîäó Êàíòîð îòêðûë åù¸ îäèí ïàðàäîêñ è ñîîáùèë î íåì Ð. Äåäåêèíäó.  1901 ãîäó ýòîò ïàðàäîêñ ïðèâëåê âíèìàíèå Á. Ðàññåëà.
Парадокс Кантора.
Ïóñòü N — ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ìíîæåñòâ, S —ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà N. Ïîñêîëüêó ìîùíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ âîçìîæíûõ ïîäìíîæåñòâ ëþáîãî ìíîæåñòâà èìååò ìîùíîñòü, áîëüøóþ ìîùíîñòè ýòîãî ìíîæåñòâà, òî ìîùíîñòü S äîëæíà áûòü áîëüøå ìîùíîñòè N. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìíîæåñòâî N åñòü ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ìíîæåñòâ; ñëåäîâàòåëüíî S ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì N. Íî ìîùíîñòü ïîäìíîæåñòâà íå áîëüøå ìîùíîñòè ìíîæåñòâà; çíà÷èò ìîùíîñòü S íå áîëüøå ìîùíîñòè N.