Три кризиса в развитии математики (стр. 16 из 27)
Êîãäà ñòàëè ðàçðàáàòûâàòü íîâóþ òåîðèþ ïðåäåëîâ, ïîíÿòèå ðÿäà, ðàíåå íå ðàñ÷ëåíÿåìîå íà ðÿäû ñõîäÿùèåñÿ è íåñõîäÿùèåñÿ, ïîëó÷èëî ïî ýòèì ïðèçíàêàì îñíîâíîå ïîäðàçäåëåíèå. Áëàãîäàðÿ ýòîìó óäàëîñü óñòàíîâèòü òî÷íîå ïîíÿòèå ñóììû ðÿäà è íàïðàâèòü ïî ïðàâèëüíîìó ïóòè ðàçðàáîòêó òåîðèè ÷èñëîâûõ è ñòåïåííûõ ðÿäîâ.  äàëüíåéøåì, â ñâÿçè ñ ðàçðàáîòêîé ïðîáëåì òåîðèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ, áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ñõîäÿùèåñÿ ÷èñëîâûå ðÿäû ðàñïàäàþòñÿ íà äâà âèäà — àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû (Äèðèõëå, Ðèìàí). Ïî îñíîâíûì ñâîéñòâàì àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ñõîäíû ñ êîíå÷íûìè ñóììàìè; èõ ìîæíî ïåðåìíîæàòü è ïåðåñòàâëÿòü â íèõ ÷ëåíû. Óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò íèõ; Ðèìàí äîêàçàë, ÷òî â ëþáîì, óñëîâíî ñõîäÿùåìñÿ ðÿäå ìîæíî òàê ïåðåñòàâèòü åãî ÷ëåíû, ÷òî âíîâü ïîëó÷åííûé ðÿä áóäåò èìåòü ñóììîé íàïåðåä çàäàííîå ÷èñëî; ìîæíî òàêæå äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû íîâûé ðÿä îêàçàëñÿ ðàñõîäÿùèìñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, àëãîðèòìû, îñíîâàííûå íà ñâîéñòâå êîíå÷íûõ ñóìì, ìîæíî îòíîñèòü òîëüêî ê àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ ðÿäàì. Ê ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà îòíîñèòñÿ îòêðûòèå Êîøè ôóíêöèè
, äëÿ êîòîðîé ìîæíî ñîñòàâèòü ðÿä Ìàêëîðåíà, ñõîäÿùèéñÿ ïðè âñÿêîì õ, íî êîòîðûé ñõîäèòñÿ âñþäó ê íóëþ, à íå ê ýòîé ôóíêöèè.Òåì ñàìûì áûëà äîêàçàíà îøèáî÷íîñòü èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ Ëàãðàíæà, ñäåëàííîãî èì ïðè ïîïûòêå îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå íà áàçå òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Îñîáóþ ðîëü ñûãðàëè èññëåäîâàíèÿ ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäàì (Äèðèõëå, Ðèìàí, Ëîáà÷åâñêèé è äð.). Áëàãîäàðÿ èì íà÷àëà ñîçäàâàòüñÿ îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, âêëþ÷èâøàÿ òåîðèþ ñòåïåííûõ ðÿäîâ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé.
Òàêîãî ðîäà ôàêòû çàñòàâèëè ìàòåìàòèêîâ îòêàçàòüñÿ îò íåîáîñíîâàííîãî, ÷àñòî ôîðìàëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ñâîéñòâ êîíå÷íûõ ñóìì íà âñå áåñêîíå÷íûå ðÿäû è ïîìîãëè èì ðàçðàáîòàòü íàó÷íûå ïðèíöèïû òåîðèè ðÿäîâ, áàçèðóþùèåñÿ íà òåîðèè ïðåäåëîâ.
Ýòè æå ôàêòû ïîìîãëè ìàòåìàòèêàì ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïîíÿòü, ïî÷åìó ìàòåìàòèêè XVIII âåêà íå ñìîãëè ñäåëàòü â òåîðèè ðÿäîâ òî, ÷òî óäàëîñü ñäåëàòü èì. Òàê, ñîïîñòàâèâ ñâîéñòâà àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ, Ðèìàí çàìåòèë:
“Òîëüêî ê ðÿäàì ïåðâîãî êëàññà ïðèìåíèìû çàêîíû êîíå÷íûõ ñóìì; òîëüêî ýòè ðÿäû ìîãóò áûòü â ïîäëèííîì ñìûñëå ðàññìàòðèâàåìû êàê ñóììà âñåõ ñâîèõ ÷ëåíîâ; î ðÿäàõ æå âòîðîãî êëàññà òîãî æå ñêàçàòü íåëüçÿ,— îáñòîÿòåëüñòâî, óïóùåííîå èç âèäà ìàòåìàòèêàìè ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ, âåðîÿòíî, ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî ðÿäû, ðàñïîëîæåííûå ïî âîçðàñòàþùèì ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé, âîîáùå ãîâîðÿ (ò. å. äëÿ âñåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé, êðîìå íåêîòîðûõ îòäåëüíûõ), ïðèíàäëåæàò ê ïåðâîìó êëàññó.”
Îïèñàííûé âûøå ïðîöåññ èçìåíåíèÿ ñîäåðæàíèÿ è êîðåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è òåîðèè ðÿäîâ â îáùèõ ÷åðòàõ áûë ïðèñóù áîëüøèíñòâó ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà.  ñâÿçè ñ ýòèì ñ ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ñîçäàåòñÿ, à âî âòîðîé ïîëó÷àåò âñåîáùåå ïðèçíàíèå íîâûé èäåàë ñòðîãîãî îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, ñâîäÿùèéñÿ ê òðåì òðåáîâàíèÿì: