Равные многоугольники имеют S квадрата равна квадрату его стороны.
Равные S.
Если многоугольник составлен из Теорема:S прямоугольника = про-
нескольких многоугольников, то изведению его смежных сторон.
Его S = сумме площадей этих
многоугольников. Теорема:S параллелограмма = про-
изведению его основания на высоту.
Теорема:S треугольника =
= произведению его основанияS прямоугольного треугольника = 1/2
на высоту. произведения его катетов.
Если высоты 2ух 3-угольников Теорема: Если угол 1го 3-угольника
равны, то их S относятся равен углу другого 3-угольника, то S
как основания. этих 3-угольников относятся как про-
изведения сторон, заключающих равные
Теорема:S трапеции = про- углы.
изведению полусуммы её осно-
ваний на высоту. Теорема: В прямоугольном 3-угольни-
ке квадрат гипотенузы = сумме квадра-
Теорема: Если квадрат 1ой тов катетов.
стороны 3-угольника = сумме
квадратов 2 других сторон, то
3-угольник прямоугольный.
ГлаваVII.
Подобные треугольники.
Определение: 2 3-угольника Теорема: Отношение S 2ух подоб-
называются подобными, если их ных 3-угольников = квадрату коэф-
углы соответственно равны и фициента подобия.
стороны 1го 3-угольника про-
порционально сходственны Теорема: Если 2 угла 1го 3-уголь-
сторонам другого. ника соответственно = 2ум углам
другого, то такие 3-угольники по-
Теорема: Если 2 стороны 1го добны.
3-угольника пропорциональны 2ум
сторонам другого 3-угольника и углы, заключённые между этими сторо-
нами, равны, то такие 3-угольники подобны.
Теорема: Если 3 стороны 1го Теорема: Средняя линия параллель-
3-угольника пропорциональны на 1ой из его сторон и равна ½ этой
3ём сторонам другого, то такие стороны.
3-угольники подобны.
sin острого угла прямоугольного cos острого угла прямоугольного 3-уголь-
3-угольника – отношение ника – отношение прилежащего катета
противолежащего катета к к гипотенузе.
гипотенузе.
tg угла = отношению sin к cos
tg острого угла прямоугольного этого угла: tg = sin/ cos.
3-угольника – отношение противо-
лежащего катета к прилежащему. Основное тригонометрическое
тождество:
Если острый угол 1го прямоугольного sin2α+ cos2α=1.
3-угольника = острому углу другого прямо-
угольного 3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.
| x | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| sinx | 0 | 1/2 | 2/2 | 3/2 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| cosx | 1 | 3/2 | 2/2 | 1/2 | 0 | -1 | 0 | 1 |
| tgx | 0 | 1/ 3 | 1 | 3 | — | 0 | — | 0 |
| ctgx | — | 3 | 1 | 1/ 3 | 0 | — | 0 | — |
| 0 | П/6 | П/4 | П/3 | П/2 | П | 3П/2 | 2П |
Глава VIII.
Окружность.
Если расстояние от центра окруж- Если расстояние от центра окруж-
ности до прямой < радиуса, то пря- ности до прямой = радиуса, то пря-
мая и окружность имеют 2 общие мая и окружность имеют 2 общие
точки. Прямая является секущей. точки. Прямая является касательной.
Если расстояние от центра окруж- Теорема: Касательная к окруж-
ности до прямой > радиуса, то пря- ности перпендикулярна к r, прове-
мая и окружность не имеют общих дённому в точку касания.
точек.
Теорема: Если прямая проходит
Отрезки касательных к окружнос- через конец r, лежащий на окруж-
ти, проведённые из 1ой точки, рав- ности, и перпендикулярна к этому
ны и составляют равные углы с r, то она является касательной.
прямой, проходящей через эту точ-
ку и центр окружности. Дуга является полуокружностью.
Угол с вершиной в центре окруж- Если дуга АВ окружности с центром
ности — её центральный угол. О < полуокружности или является
полуокружностью, то её градусная
Сумма градусных мер 2ух дуг ок- мера считается равной градусной
ружности с общими концами = мере центрального угла АОВ. Если же
= 360°. дуга АВ > полуокружности, то её
градусная мера считается =
Угол, вершина кот-го лежит на = 360°–<АОВ.
окружности, а стороны пересе-
кают окружность, называется Теорема: Вписанный угол измеряя-
вписанным углом. ется ½ дуги, на кот-ую он опирается.
Луч ВО совпадает с 1ой из сто- Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если
рон угла АВС. луч ВО пересекает дугу АС.
Луч ВО не делит угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту
угла и не совпадает со сторона- же дугу, равны.
ми этого угла, если луч ВО не
пересекает дугу АС. Вписанный угол, опирающийся на полу-
окружность, -- прямой.
Теорема: Если 2 хорды ок- Теорема: Каждая точка бисс-сы
ружности пересекаются, то неразвёрнутого угла равноудалена
произведение отрезков 1ой от его сторон. Каждая точка, ле-
хорды = произведению отрез- жащая внутри угла и равноудалённая
ков другой хорды. от сторон угла, лежит на его бисс-се.
Бисс-сы 3-угольника пересека- Серединным перпендикуляром к отрезку
ются в 1ой точке. называется прямая, проходящая через
середину отрезка и перпендикулярная
Теорема: Каждая точка се- к нему.
рединного перпендикуляра к
отрезку равноудалена от концов Серединные перпендикуляры к сторо-
этого отрезка. Каждая точка, нам 3-угольника пересекаются в 1ой
равноудалённая отконцов отрез- точке.
ка, лежит на серединном перпен-
дикуляре. Теорема: в любой 3-угольник мож-
но вписать окружность.
Теорема: Высоты 3-угольника
(или их продолжения) пересека- В 3-угольник можно вписать только 1у
ются в 1ой точке. окружность.
Теорема: Около любого треу- В любом вписанном 4-угольнике сумма
гольника можно онисать окруж- противоположных углов = 180°.
ность.
Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.
Глава IX.
Векторы.
Физические величины, характери- Определение: Отрезок, для кот-
зуещиеся направлением в прост- го указано, какой из его концов счи-
ранстве – векторные. тается началом, а какой – концом,
называется вектором.
Длина (модуль) – длина АВ.
Длина нулевого вектора = 0.
Нулевые векторы называются
коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково,
либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены.
параллельных прямых; нулевой
вектор считается коллинеар- Если 2 вектора направлены противопо-
ным любому вектору. ложно, то они противоположно напра-
влены.
Определение: Векторы,
называются равными, если От любой точки М можно отложить
они сонаправлены и их дли- вектор, равный данному вектору ã, и
ны равны. притом только один.
Теорема: для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:
1. ă + č = č + ă (переместительный закон);
2. ( ă + č )+ ĕ = ă +( č + ĕ ).
Теорема: Для любых векто- Произведение любого вектора на число
ров ă и č справедливо равенство: 0 есть нулевой вектор.
ă – č = ă + ( - č ).
Для любого числа k и любого векто- ( kl )ă=k( lă ) (сочетательный закон);
ра ă векторы ă и kă коллинеарны. ( k+ l )ă=kă+lă(1ый рспред-ный закон);
k(ă+č )=kă+kč.
Теорема: Средняя линия тра-
пеции параллельна основаниям
и = их полусумме.
9 класс.
Глава X.
Метод координат.
Лемма: Если векторы ă иč Теорема: Любой вектор можно раз-
коллинеарны и ă=0, то сущес- ложить по 2ум данным неколлинеар-
твует такое число k, что č=kă. ным векторам, причём коэффициен-
ты разложения определяются един-
Каждая координата суммы 2ух ственным образом.
векторов = сумме соответству-
ющих координат этих векторов. Каждая координата произведения век-