Синтез оптимальных уравнений (стр. 6 из 9)

Итак, согласно принципу максимума только изображённые на рис. 17 траектории могут быть оптимальными, причём видно, что из каждой точки фазовой плоскости исходит только одна траектория, ведущая в начало координат, которая может быть оптимальной (т. е. задание начальной точки x₀ однозначно определяет соответствующую траекторию).

8. Проблема синтеза оптимальных управлений. Посмотрим на разобранный в предыдущих пунктах пример с несколько иной точки зрения. Найденное выше решение оптимальной задачи можно истолковать следующим образом. Обозначим через v(x)= +1 ниже линии AOBи на дуге AO, v(x)= ─1 выше линии AOB и на дугеBO. Тогда (см. 17) на каждой оптимальной траектории значение u(t) управляющего параметра (в произвольный момент времени t) равно v(x(t)), т. е. равно значению функции v в той точке, в которой в момент t находится движущаяся фазовая точка, пробегающая оптимальную траекторию u(t)=v(x(t)). Это означает, что, заменив в системе (1.29) величину u функцией v(x), мы получим систему

(1.34)

решение которой (при произвольном начальном состоянииx₀) даёт оптимальную фазовую траекторию, ведущую в начало координат. Иначе говоря, система (1.34) представляет собой систему дифференциальных уравнений (с разрывной правой частью) для нахождения оптимальных траекторий, ведущих в начало координат.

Рассмотренный пример показывает, что решение задачи об оптимальных управлениях естественно ожидать в следующей форме. Будем решать оптимальную задачу в общей постановке:

(см. п. 3), рассматривая всевозможные начальные состояния и каждый раз предписывая в качестве конечного состояния начало координат O фазового пространства. Тогда (насколько можно судить по разобранному выше примеру) существует такая функция v(x), заданная в фазовом пространстве V принимающая значения в области управления U, что уравнение

(1.35)

определяет все оптимальные траектории, ведущие в начало координат. Иначе говоря, оптимальное управление оказывается естественным искать не в форме u=u(t), а в форме u=v(x), т. е. искомое оптимальное управление в каждый момент зависит лишь от того, в какой точке пространства находится в данный момент фазовая точка.

Функцию v(x), дающую уравнение оптимальных траекторий в форме (1.35), называют синтезирующей функцией, а задачу нахождения синтезирующей функции ─ задачей синтеза оптимальных управлений. В разобранном примере синтезирующая функция была кусочно-непрерывной (даже кусочно-постоянной).

Г л а в а II

ЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

§ 4. Линейная задача оптимального управления

9. Формулировка задачи. Ниже будут подробно изучены управляемые объекты, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями относительно величин x¹,…,xⁿ, u¹,…,u^r, т. е. уравнениями вида

i=1,2,…,n, (2.1)

где aⁱ_α и bⁱ_β ─ некоторые постоянные коэффициенты.

Одним из наиболее важных для приложений является случай, когда каждая из величин u¹,u²,…,u^r в уравнениях (2.1) представляет собой отдельный управляющий параметр, область изменения которого не зависит от значений остальных управляющих параметров и задаётся неравенствами

β=1,…,r. (2.2)

Как было указано выше (см. п. 4), эти неравенства определяют r-мерный параллелепипед.

В дальнейшем при рассмотрении объектов вида (2.1) будет предполагаться, что управляющий параметр u=(u¹,u²,…, u^r) может меняться в замкнутой области управления U, представляющей собой выпуклый многогранник (лежащий в пространстве переменных u¹,u²,…, u^r).

Для того чтобы записать уравнения (2.1) в векторной форме, мы введём в рассмотрение матрицы

(2.3)

элементами которых являются коэффициенты aⁱ_α, bⁱ_β, входящие в уравнения (2.1). Как обычно, результат применения матрицы A к векторуx=(x¹, x²,…, xⁿ) мы будем обозначать символом Ax, т. е. y=Ax есть n-мерный вектор, координаты которого определяются формулами

(2.4)

Аналогично для любого r-мерного вектора u=(u¹, u²,…, u^r) через Bu обозначается вектор, i-я координата которого равна

Таким образом, матрица A определяет линейное отображение координатного n-мерного пространства снова в n-мерное пространство, а матрица B определяет отображение r-мерного пространства в n-мерное.

Пользуясь матрицами A и B, мы можем теперь записать уравнения (2.1) в векторной форме:

(2.5)

Пусть u(t)=(u¹, u²,…, u^r) ─ произвольное допустимое (в смысле п. 4) управление, заданное на некотором отрезке t₀≤t≤t₁, и x₀=(x¹₀,…, xⁿ₀) ─ некоторая точка фазового пространства. Обозначим θ₁, θ₂,…, θ_k все точки, в которых хотя бы одна из функций u¹(t), u²(t),…, u^r(t) терпит разрыв, причём занумеруем эти точки таким образом, что t₀<θ₁<θ₂<…<θ_k<t₁. Подставив функции u¹(t), u²(t),…, u^r(t) в правые части системы (2.1),мы придём к системе уравнений

(2.6)

или в векторной форме,

(2.7)

Систему (2.7) мы рассмотрим сначала для значений t, удовлетворяющих неравенствам t₀≤t≤θ₁. На этом отрезке изменения аргумента существуют такие функции x¹(t),…, xⁿ(t), определённые и непрерывные на всём отрезке t₀≤t≤θ₁, которые, рассматриваемые на интервале t₀<t<θ₁, являются решениями системы (2.6) и, кроме того, удовлетворяют начальным условиям x¹(t₀)=x¹₀, x²(t₀)=x²₀,…, xⁿ(t₀)=xⁿ₀ (согласно сведениям из дифференциальных уравнений (см. книгу Л.С. Понтрягина «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Наука», М., 1965 (стр. 23, 24 и 168-172))).

Теперь мы можем рассмотреть систему (2.6) на отрезке θ₁≤t≤θ₂, воспользовавшись точкой γ₁=(x¹(θ₁),…, xⁿ(θ₁), θ₁) в качестве начального значения. На отрезке θ₁≤t≤θ₂ снова существует решение с начальным значением γ₁. Это решение мы снова обозначим через x(t)=(x¹(t),…, xⁿ(t)). Теперь функция x(t) построена на отрезке t₀≤t≤θ₂ и непрерывна на всём этом отрезке (и, в частности, в «точке сопряжения» θ₁;). Воспользовавшись, далее, новым начальным значением γ₂=(x¹(θ₂),…, xⁿ(θ₂), θ₂), мы продолжим эту функцию x(t) на отрезок θ₂≤t≤θ₃ и т. д. В конце концов мы определим x(t) на всём отрезке t₀≤t≤t₁.

Полученная функция x(t)=(x¹(t),…, xⁿ(t)) непрерывна на всём отрезке t₀≤t≤t₁ и является на нём кусочно-дифференцируемой; именно, во всех точках интервала t₀<t<t₁, кроме θ₁, θ₂,…, θ_k, функция x(t) непрерывно дифференцируема (и удовлетворяет системе (2.6)). Построенную функцию мы будем называть решением системы (2.6) (или уравнения (2.7)), соответствующим управлению u(t), при начальном условии x¹(t₀)=x¹₀, x²(t₀)=x²₀,…, xⁿ(t₀)=xⁿ₀. Наконец, мы будем говорить, что допустимое управление u(t), t₀≤t≤t₁, переводит фазовую точку из состояния x₀ в состояние x₁ (в силу закона движения (2.1) или (2.5)), если соответствующее ему решение x(t) системы (2.1), удовлетворяющее начальному условию x(t₀)=x₀, приходит в момент t₁ в точку x₁, т. е. удовлетворяет также «конечному» условию x(t₁)=x₁.