Ряды Фурье и их приложения (стр. 4 из 6)
Рассмотрим следующий важный случай. Пусть функция ƒ(x) задана на отрезке [0, l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [ l, 0 ] , мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним определение данной функции так, чтобы при - l≤ х < 0 было ƒ(x) = ƒ(-x). В результате получится четная функция. В этом случае говорят, что функция ƒ(x) «продолжена четным образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке [0, l] функцию ƒ(x) мы разложили по косинусам.
Если мы продолжим определение функции ƒ(x) при - l≤ х <0 так: ƒ(x) = -ƒ(-x), то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. Таким образом, если на отрезке [0, l] задана некоторая кусочно монотонная функция ƒ(x), то её можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, таки по синусам.
Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2π.
Пусть ƒ(x) – функция, удовлетворяющая условиям определения:
Пусть функция ƒ(x) с периодом 2π, имеющая на сегменте [-π, π] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте (т. е. она интегрируема на любом сегменте).
Тогда пусть ряд (2) является рядом Фурье функции ƒ(x). Преобразуем общий член этого ряда с помощью формул Эйлера, выражающих косинус и синус через показательную функцию. Имеем:
,где
.Полагая ещё
получим для частичных сумм ряда Фурье выражение 
Для новых коэффициентов cn получаем формулу (учитывая формулы an и bn).
Непосредственно видно, что эта формула верна для n = 0 и для n < 0 (последнее видно, например, из того, что
где 
обозначает число, сопряженное с).По доказанному имеем в точках дифферуемциемоcти:
Итак, в точках дифференцируемости
(26)где
Правая часть формулы (26) представляет собой комплексную форму ряда Фурье для функции с периодом 2π.
Комплексная форма ряда Фурье для функции с любым периодом. (Романовский стр.33)
Пусть ƒ(x) – функция с периодом 2l, удовлетворяющая условиям , указанным в пункте 6. Тогда подстановка x= lt/ π приводит нас к функции ƒ(lt/ π) с периодом 2π. В силу предыдущего пункта в точках дифференцируемости имеем:
Переходя как в ряде, так и формулах для коэффициентов к старому переменному х и замечая, что t = π x / l, dt=(π / l)dx, получим в точках дифференцируемости:
(27)где
Правая часть формулы (27), где коэффициенты определяются равенствами (28), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 2l.Основные типы уравнений математической физики.
Основными уравнениями математической физики называют (для случая функций двух независимых переменных) следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.
1. Волновое уравнение:
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа.
2. Уравнение теплопроводности или уравнение Фурье:
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде (например, фильтрации нефти и газа с подземных песчаниках), некоторые вопросы теории вероятностей и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа.
3. Уравнение Лапласа:
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением эллиптического типа.
В уравнениях (29), (30) и (31) искомая функция u зависит от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения и для функций с большим числом переменных. Так, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид:
уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными имеет вид:
уравнение Лапласа с тремя неизвестными переменными имеет вид:
Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах.
В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к её профилю. Пусть струна длины l в начальный момент напрвлена по отрезку оси Ох от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках х = 0 и х = l. Если струну отклонить от её первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, предать в начальный момент её точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать её точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, что струны начнет колебаться. Задача заключается в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u (x, t), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент времени t.
 |
(Н.С. Пискунов стр. 245, рис. 371)
Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (x, u ), то будем предполагать, что длина элемента струны М1М2 равняется её проекции на ось Ох, т. е. М1М2 = х2 – х1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.
Рассмотрим элемент струны ММ′. На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т.
(Н.С. Пискунов стр. 246, рис. 372)
Пусть касательные образуют с осью Ох углы φ и φ + ∆φ. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент ММ′, будет равна T· sin (φ + ∆φ) – sin φ . Так как угол φ мал, то можно положить tg φ ≈ sin φ, мы будем иметь:
T sin (φ + ∆φ) – T sin φ ≈ T tg (φ + ∆φ) – T tg φ =
(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящего в квадратных скобках).
Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ – линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет ρ ∆х. Ускорение элемента равно ∂2u / ∂t2. Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:
Сокращая на ∆х и обозначая a2 = T/ ρ, получаем уравнение движения
Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (35) недостаточно. Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять ещё граничным условиям, указывающих, что делается на концах струны (х = 0 и х = ℓ), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.
Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при х = 0 и х = ℓ неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства:
u (0, t) = 0, (36)
u (ℓ, t) = 0. (36,)
Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.
В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией ƒ(x). Таким образом, должно быть
u (x, 0) = u |t = 0 = ƒ(x). (37)
Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(х):
