Ряды Фурье и их приложения (стр. 2 из 6)

Замечание 1.

В математике называют пространством

= (a, b) совокупность функций ƒ(x), интегрируемых в лебеговом смысле на [a, b] вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (11). Рассматриваемое пространство есть часть . Пространство обладает многими свойствами пространства , но не всеми.

Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского | (ƒ , φ ) |≤ (ƒ , ƒ )^½ (φ , φ ) ^½, которое на языке интегралов выглядит так:

Величина

называется нормой функции f.

Норма обладает следующими свойствами:

1) || f || ≥ 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции f = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

где α – действительное число.

Второе свойство на языке интегралов выглядит так:

и называется неравенством Минковского.

Говорят, что последовательность функций { f_n}, принадлежит к

,сходится к функции принадлежит в смысле среднего квадратического на [a, b] (или ещё по норме ), если

Отметим, что если последовательность функций ƒ_n (x) сходится равномерно к функции ƒ(x) на отрезке [a, b], то для достаточно больших n разность ƒ(x) - ƒ_n(x) по абсолютной величине должна быть мала для всех х из отрезка [a, b].

В случае же, если ƒ_n(x) стремится к ƒ(x)в смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то указанная разность может и не быть малой для больших n всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a, b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших n.

Пример. Пусть на [0, l] заданна изображенная на рисунке непрерывная кусочно-линейная функция ƒ_n(x) (n = 1, 2,…), причем

(Бугров, стр. 281, рис. 120)

При любом натуральном n

и, следовательно, эта последовательность функций, хотя и сходится к нулю при n → ∞, но неравномерно. Между тем

т. е. последовательность функций {f_n (х)} стремится к нулю в смысле среднего квадратического на [0, 1].

Из элементов некоторой последовательности функций ƒ₁, ƒ₂, ƒ₃,… (принадлежащих

) построим ряд

ƒ₁ + ƒ₂ + ƒ₃ +… (12)

Сумма первых его n членов

σ _n = ƒ₁ + ƒ₂ + … + ƒ_n

есть функция, принадлежащая к

. Если случится, что в существует функция ƒ такая, что

|| ƒ- σ_n|| → 0 (n → ∞),

то говорят, что ряд (12) сходится к функции ƒ в смысле среднего квадратического и пишут

ƒ = ƒ₁ + ƒ₂ + ƒ₃ +…

Замечание 2.

Можно рассматривать пространство

= (a, b) комплекснозначных функций ƒ(x) = ƒ₁(x) + iƒ₂(x), где ƒ₁(x) и ƒ₂(x) – действительные кусочно – непрерывные на [a, b] функции. В этом пространстве функции умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций ƒ(x) = ƒ₁(x) + iƒ₂(x) и φ(х) = φ₁(х) +i φ₂(х) определяется следующим образом:

а норма ƒ определяется как величина

2.1. Интегралы от периодических функций.

Пусть ƒ(x) – периодическая функция, с периодом Т, интегрируемая на любом сегменте вида [х₀, х₀+Т]. Тогда величина интеграла

остаётся при любом х₀ одной и той же: для любых х₀, х₀'

.

2.2. Интегралы от некоторых тригонометрических

функций.

Укажем значения некоторых интегралов:

(k = 1,2,…), (13)

(k =1,2,..; m =1,2,…), (14)

(15)

(k =1,2,…; m =1,2,…; k ≠ m),

(k =1,2,…) (16)

Теперь можем вычислить коэффициенты Фурье a_kи b_k ряда (2). Для разыскания коэффициента a_n при каком-либо определенном значении n≠0 умножим обе части равенства (2) на cosnx и произведя математические операции в пределах от –π до π, получим:

(17)

(18)

Коэффициенты, определенные по формулам (4), (17), (18) называются коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический ряд (18) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции ƒ(x).

В некоторых случаях, для более узких классов функций, формулы (17), (18) были известны ещё Эйлеру. Таким образом, эти формулы ещё называют формулами Эйлера-Фурье.

Обратим внимание, что постоянная

в (2) пишется в таком виде, чтобы придать единообразие формулам (17) и (18).

Вышеприведенные соображения показывают, что поиски тригонометрического разложения данной функции целесообразно начать с изучения её ряда Фурье, откладывая на потом строгое изучение вопроса о том, для каких функций ряд сходится, и притом именно к данной функции. Пока же этого не сделано, функции ƒ(x) сопоставляют её формальный ряд Фурье, что обычно записывают в виде:

ƒ(x) ~ , (19)

про который известно, что его коэффициенты вычислены по функции ƒ(x) по формулам Эйлера – Фурье (4), (17) и (18), но ничего не утверждается о его сходимости и тем более – о его сходимости к данной функции.

Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует только, что некоторая функция допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (19), то этот ряд будет её рядом Фурье.

3. Признаки сходимости

рядов Фурье. (стр. 331, Пискунов)

Зададим вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный, для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?

Сформулируем теорему, которая даст достаточные условия представимости функции ƒ(x) рядом Фурье. (из Пискунова)

Определение. Функция ƒ(x) называется кусочно- монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х₁, х₂, …,х_n-1 на интервалы (а, х₁), (х₁, х₂),…, (х_n-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая.

Теорема.

Если периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π – кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [-π, π], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s(x) равна значению функции ƒ(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции ƒ(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции ƒ(x)справа и слева, т. е. если х = с – точка разрыва функции ƒ(x), то

.

Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики.