Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом (стр. 2 из 6)

Начальный опорный план задачи (3.1) - (3.3) известен. Он состоит из компонент

и имеет единичный базис Б =

= E.

Решая вспомогательную задачу первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4), в силу ограниченности линейной формы

сверху на множестве своих планов ( ) получим, что процесс решения через конечное число шагов приведет к оптимальному опорному плану вспомогательной задачи.

Пусть

- оптимальный опорный план вспомогательной задачи. Тогда является опорным планом исходной задачи. Действительно, все дополнительные переменные . Значит, удовлетворяет условиям исходной задачи, т.е. является некоторым планом задачи (2.12) - (2.13). По построению план является также опорным.

3.1. Постановка L-задачи

Вспомогательная задача для нахождения начального опорного плана задачи (2.12) - (2.13) в канонической форме состоит в следующем.

Требуется обратить в максимум

при условиях

, где .

рассматривая в качестве исходного опорного плана план

Здесь добавление только одной дополнительной переменной

(вместо пяти) обусловлено тем, что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А_4, А_5, А_6, А_7.

3.2. Решение L-задачи

Решение L-задачи будем проводить в соответствии с первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4). Составим таблицу, соответствующую исходному опорному плану (0-й итерации).

Т.к. Б₀ =

- базис, соответствующий известному опорному плану , является единичной матрицей, то коэффициенты разложения векторов А_jпо базису Б₀

.

Значение линейной формы

и оценки для заполнения (m+1)-й строки таблицы определяются следующими соотношениями:

,

.

Отсюда получим:

;

;

;

…

.

Весь процесс решения задачи приведен в табл. 3.2.1, которая состоит из 2 частей, отвечающих 0-й (исходная таблица) и 1-й итерациям.

Заполняем таблицу 0-й итерации.

Среди оценок

имеются отрицательные. Значит, исходный опорный план не является оптимальным. Перейдем к новому базису. В базис будет введен вектор А₁ с наименьшей оценкой . Значения tвычисляютсядля всех позиций столбца t (т.к. все элементы разрешающего столбца положительны). Наименьший элемент достигается на пятой позиции базиса. Значит, пятая строка является разрешающей строкой, и вектор А₉ подлежит исключению из базиса.

Составим таблицу, отвечающую первой итерации.

В столбце Б_х, в пятой позиции базиса место вектора А₉занимает вектор А₁. Соответствующий ему коэффициент линейной формы С₄₁ = 0 помещаем в столбец С_х. Главная часть таблицы 1 заполняется по данным таблицы 0 в соответствии с рекуррентными формулами. Так как все

, то опорный план является решением L-задачи. Наибольшее значение линейной формы равно .

Таблица 3.2.1

3.3. Формирование начального опорного плана исходной задачи линейного программирования из оптимального плана L-задачи

Поскольку

, где - оптимальный опорный план L-задачи, то является начальным опорным планом исходной задачи (2.12) - (2.13).

4. Решение исходной задачи I алгоритмом симплекс-метода

Описание I алгоритма

Симплекс-метод позволяет, отправляясь от некоторого исходного опорного плана и постепенно улучшая его, получить через конечное число итераций оптимальный план или убедиться в неразрешимости задачи. Каждой итерации соответствует переход от одной таблицы алгоритма к следующей. Таблица, отвечающая опорному плану в ν-й итерации имеет вид табл. 4.1.

Таблица 4.1

C		…		…		…
N			B		…		…		…		t
1					…		…		…
l					…		…		…
m					…		…		…
m+1	–	–			…		…		…		–

Заполнение таблицы, соответствующей исходному опорному плану (0-й итерации). Пусть

некоторый опорный план задачи (2.1) - (2.3) с базисом . Тогда – базисные компоненты, а – небазисные компоненты.