Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета (стр. 5 из 6)

f = (x - c)q + r;

по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени x - c, т.е. меньшую 1.

Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях r на самом деле является числом - нулем или отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство f = (x - c)q + r значение x = c, мы получим

f(с) = (с - c)q(с) + r = 0,

так что действительно r = f(c), и первое утверждение доказано.

Теперь первое утверждение почти очевидно. В самом деле, утверждение "f делится на x - c" означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток, по доказанному, равен f(c), так что "f делится на x - c" означает то же самое, что и f(c) = 0. ÿ

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если f(c) = 0, то f = (x - c)q, и остается решить уравнение q(x) = 0. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни многочлена. В частности, подобрав один корень кубического уравнения, можно его полностью решить - после понижения степени достаточно решить полученное квадратное уравнение.

Решим в качестве примера уравнение

x⁴ - x³ - 6x² - x + 3 = 0.

Целые корни многочлена f = x⁴ - x³ - 6x² - x + 3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть только числа ±1 и ±3. При этом 1 не является корнем многочлена f, поскольку сумма его коэффициентов, очевидно, не равна 0.

При x = -1: имеем схему

1	-1	-6	-1	3
-1	1	-2	-4	3	0

Мы видим, что -1 - корень f , и в частном получается многочлен

g = x³ - 2x² - 4x +3.

Значение x = 1 второй раз проверять незачем: если бы число 1 было корнем g, то оно было бы и корнем f, что неверно. А -1 проверить обязательно - ничто не мешает ей быть также и корнем частного g:

1	-2	-4	3
-1	1	-3	-1	4

Следовательно, g(-1) ¹ 0.

Составим схему Горнера для x = 3:

1	-2	-4	3
3	1	1	-1	0

Следовательно, g(3) = 0, и при делении g на x - 3 получается многочлен x²- x - 1, корни которого (1±

)/2.

Таким образом, многочлен f, а значит, и исходное уравнение имеет 4 корня: -1, 3 и (1±

)/2.

3⁰. Следствия из теоремы Безу. Теорема Безу позволяет частично ответить и на важный теоретический вопрос - Сколько корней может иметь многочлен?

Теорема. Многочлен степени n имеет в любом поле не более n корней.

Доказательство. Пусть многочлен f степени n имеет k корней, и c -один из его корней. Предположим противное - пусть k>n.

По теореме Безу, f = (x - c)g, и частное g имеет степень n - 1. Всякий корень f, отличный от c, является одновременно и корнем g: если f(a) = 0, то (a - c)g(a) = 0, откуда g(a) = 0, так как a¹c. Другими словами, многочлен g имеет, по меньшей мере k - 1>n - 1 корень, т.е. число его корней также больше его степени.

Но с многочленом g можно провести те же рассуждения, и на втором шагу получить новый многочлен h, число корней которого также больше его степени. Продолжая таким же образом, мы придем к многочлену степени 2, имеющему больше 2 корней, чего не может быть.

Полученное противоречие показывает, что предположение k>n неверно, и следовательно, k не больше n, что и требовалось доказать.

Из теоремы о числе корней вытекают два исключительно важных и для теории, и для практики утверждения.

Следствие 1.Два многочлена степени, не большей n, принимают одинаковые значения при n + 1 значении x тогда и только тогда, когда при каждой степени x они имеют одинаковые коэффициенты.

Следствие 2. Два многочлена принимают одинаковые значения при всех значениях x тогда и только тогда, когда при каждой степени x они имеют одинаковые коэффициенты.

9. Разложение многочлена в произведение неприводимых

множителей и его единственность

1⁰. Основная теорема арифметики кольца k[x]. Любой многочлен положительной степени можно разложить в произведение неприводимых сомножителей, и такое представление единственно с точностью до ассоциированности и порядка сомножителей.

Доказательство. 1. Существование. Индукцией по n докажем, что каждый многочлен f степени n ³ 1 можно разложить в произведение неприводимых сомножителей. Основанием индукции при n = 1 служит тривиальное разложение f = f. Сделав индуктивное предположение, рассмотрим многочлен f степени n. Если f - неприводим, то разложение имеет вид: f = f; если же f - приводим, то его можно записать в виде f = gh, где степени g, h меньше степени f. По предположению индукции многочлены g и h можно разложить на неприводимые сомножители:

g = p₁p₂ . . . p_s, h = q₁q₂ . . . q_t,

поэтому

f = p₁p₂ . . . p_sq₁q₂ . . . q_t.

2. Единственность. Предположим, что некоторый многочлен f имеет два разложения на неприводимые сомножители:

f = p₁p₂ . . . p_s , f = q₁q₂ . . . q_t,

тогда

p₁p₂ . . . p_s = q₁q₂ . . . q_t.

Левая часть последнего равенства делится на p₁, значит, правая часть также делится на p₁. По основному свойству неприводимого многочлена на p₁ делится либо q₁, либо q₂, . . . , либо q_t. Изменяя, если надо нумерацию сомножителей, можно считать, что p₁ делит q₁, и поскольку q₁ неприводим, то они ассоциированы, т.е. для некоторого числа c верно p₁ = cq₁. Значит, сокращая на p₁ обе части равенства

p₁p₂ . . . p_s = p₁q₂ . . . q_t,

получаем:

p₂ . . . p_s = (cq₂ ) . . . q_t.

Обозначим данное произведение через m, и заметим, что deg m < deg f. По предположению индукции можно считать, что для m выполнено утверждение теоремы, т.е. левая часть последнего равенства отличается от правой либо перестановкой сомножителей, либо их ассоциированностью, значит, и в исходном равенстве

p₁p₂ . . . p_s = q₁q₂ . . . q_t

s = t и одна часть отличается от другой только порядком сомножителей и их ассоциированностью. ð

Пример. Разложить x⁶ - 1 на неприводимые множители над Q.

Решение. x⁶ - 1 = (x³ - 1)(x³ + 1) = (x - 1)( x² + x + 1)(x + 1)( x² - x + 1).

2⁰. Каноническое разложение числа.

Обозначим через p(k) - множество неприводимых нормированных многочленов над полем k.

Тогда произвольный многочлен f представим в виде произведения

c

, где a_i ³ 0, p_iÎp(k), cÎk.

Указанное разложение однозначно определяется многочленом f и называется его каноническим разложением; число a_i называется показателем p_i в каноническом разложении.

Канонические разложения удобны для доказательства различных свойств делимости и вычисления НОД и НОК. Приведем важнейшие из них.

1⁰. f := c

делитg := d Ûa₁£b₁, a₂£b₂, . . . , a_n£b_n.

Доказательство. Пусть g = fh, a₁ > b₁, h := e

. Тогда b₁ = a₁ + c₁ > b₁, что невозможно. Обратное утверждение очевидно. ð

2⁰. Пусть имеются канонические разложения многочленов f и g:

f = c

, g = d .

Тогда

НОД(f, g) =

, НОК(f, g) = ,

гдеc_i = min (a_i, b_i), d_i = max (a_i, b_i).

Доказательство. Пусть j=

, где c_i = min (a_i, b_i). Тогда по свойству 1⁰ многочлен jявляется делителем многочленов f и g и всякий общий делитель f и g делит многочлен j. Следовательно, j= НОД(f, g).

Аналогично доказывается и второе утверждение. ð

Из свойства 2⁰ немедленно вытекает свойство