б) на интервале

, т.е.

убывает. Поэтому при любых

и

, для которых

, неравенство (2) неверно, а верно неравенство противоположного смысла:

Задача 3. Доказать неравенство:

при

(3).
Воспользуемся теоремой 2.

и

, верно неравенство

:

на промежутке

и выполнимо условие

где

, в данном случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.
Задача4. Доказать неравенство:

(4).
Решение:

,

;

Неравенство

при любых

верно. Значит неравенство (4) верно.
Задача5. Доказать, что если

, то

(5).
Решение: Пусть

Тогда

Чтобы найти, при каких значениях

функция

положительная, исследуем ее производную

. Так как при

то

Следовательно, функция

возрастает при

. Учитывая, что

и

непрерывна, получаем

, при

.
Поэтому

возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку

непрерывна и

то

при

. Неравенство (5) верно.
Задача 6. Выясним, что больше при

:

или

.
Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь

.
Рассмотрим на

вспомогательную функцию

.
Выясним, будет ли она монотонна на отрезке

. Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби):

при

.
В силу теоремы 1 функция

вырастает на отрезке

. Поэтому, при

т.е.

при

.
При решении задачи (6)встретился полезный методический прием, если нежно доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква

) считать применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой

, а значение остальных букв (в данном случае значение буквы

) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить указанный прием несколько раз.
Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных

неравенство:

(6).
Решение: Пусть

Рассмотрим функцию

.
При

имеем

.
Отсюда видно (теорема 1), что

убывает на

Поэтому при

имеем

т.е. мы получили неравенство:

(7).
Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию

. При

имеем:

Следовательно,

убывает на

, т.е.

при

значит,

(8),
Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:
Теорема 3: Пусть функция

непрерывна на

и пусть имеется такая точка
с из

, что

на

и

на

. Тогда при любом
х из

справедливо неравенство

причем равенство имеет место лишь при

.