Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр) (стр. 9 из 9)

F’(х) = f(х), или dF(х) =f(х)dх.

Отсюда и заключение о том, что дифференцирование и интегрирование являются двумя взаимно обратными операциями.

3.5. «Метод флюксий» Ньютона.

Независимо от Лейбница и ещё до него эти результаты были получены Ньютоном. Последний, однако, нашёл их, идя по другому пути. Ньютону принадлежат в областях науки первоклассные достижения, в том числе и разработка дифференциального и интегрального исчисления в форме метода флюксий.

В своём «Методе флюксий» автор формулирует две основные проблемы. Первая:

«По данному соотношению между флюэктами определить соотношение между флюксиями».

Решение этой проблемы приводит Ньютона к вычислению флюксии (производной) от данной флюэнты (функции) и к своеобразному обоснованию развитого или дифференциального исчисления. Он вводит понятие «моментов» текущих величин, соответствующих понятию дифференциалов функций. Неограниченно малую величину, понимаемую актуально бесконечно малое приращение независимой переменной (времени), Ньютон обозначает через знак O, напоминающий нуль, но не являющийся нулём. Момент флюэнты и, например он обозначает так ио, где и – флюксия. По существу момент флюэнты это её дифференциал.

Вторую проблему Ньютон формулирует так.

«По данному уравнению содержащему флюксии, найти соотношение между флюэктами». Это общая проблема объём интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, которую Ньютон решает главным образом с помощью бесконечных рядов, содержит в частности задачу определения функции F (называемую первообразной), зная её производную F’ = f. Именно эта задача приводит к понятию неопределённого интеграла.

Многие задачи из механики и физики ведут к понятию первообразной функции неопределённого интеграла, однако исторически, в частности у Ньютона, это понятие возникло из геометрии как задача квадратуры кривой.

Пусть имеем криволинейную трапецию (рис. 11), ограниченную сверху кривой у = f(х), и пусть эта функция непрерывна на [а,в] и принимает лишь неотрицательное значение.

Для нахождения площади Р нашей трапеции рассмотрим сначала площадь Р(х) фигуры АDLK, отвечающей промежутку [а, х], где х – произвольно взятое на [а,в] значение. Для нахождения функции Р(х) построим приращение Dх и соответствующее ему приращение DР, если т и М предоставляют минимум, соответственно, максимум f(х) в промежутке [х, х+Dх], то, очевидно, будет иметь место неравенство

т Dх < DР < МDР ,

откуда т < DР/Dх < М.

Вследствие непрерывности функции м и М будут стремиться к f(х) при стремлении Dх к нулю, и мы получим:

lim DР/Dх = Р’(х) = f(х),

то есть, производная от переменной Р(х) по конечной абсциссе х равна конечной ординате у = f(х), или, тоже, площадь Р(х) криволинейной трапеции есть первообразная функция для функции у = f(х), представляющей собой кривую ограничивающую трапецию.

Можно теперь записать:

Р(х) = F(х) +С. (V)

Но так как при х = аР(х) = 0, получим для значения постоянной С в нашем случае:

0 = F(а) + С, или С = – F(а),

подставив это значение С в (V), будем иметь:

Р(х) = F(х) – F(а), (W)

Для определения площади Р всей криволинейной трапеции ABCD следует положить х = в.

Тогда

Р = F(в) – F(а).

Таким путём исходя из понятия производной, Ньютон пришёл к понятию первообразной или неопределённого интеграла. Последний являлся для Ньютона первоначальным понятием при построении интегрального исчисления.

Равенство (W), пользуясь современными символами, можно переписать так:

f(х)dх = F(х) – F(а).

Это и есть так называемая формула Ньютона–Лейбница. В ней определённый интеграл, рассматриваемый как функция верхнего переменного предела интегрирования представлен в виде одной из первообразных F(х) + С подынтегральной функции f(х).

Итак, задача вычисления площади фигур, то есть, квадратура, ведёт к понятиям как определённого, так и неопределённого интегралов.

Поэтому вычисление интегралов стали называть квадратурой.

3.6. Дифференциальные методы.

В математике XVII в. наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. К дифференциальным методам мы отнесём те, в которых содержатся элементы будущего дифференциального исчисления. Вырабатывались эти элементы при решении задач, которые в настоящее время решаются с помощью дифференцирования. Такие задачи были в то время трёх видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций и отыскивание условий существования алгебраических уравнений кратных корней.

Накопление элементов дифференциального исчисления наиболее явную форму приняло у Ферма. В 1638 г. он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений f(х) .