Математика

Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр) (стр. 8 из 9)

Совокупность всех неделимых, вводимая Кавальери, по существу вводит понятие определённого интеграла. Совокупность геометрии неделимых можно сформулировать так: плоские фигуры и тела относятся друг к другу, как все их неделимые, взятые вместе; если неделимые находятся в одном и том же отношении друг к другу, то отношение площадей соответствующих фигур (или объёмов тел) равно этому отношению.

Эти утверждения практически эквивалентны современным умозаключениям типа: даны две фигуры, ограниченные осью х, прямыми х = а и х = в и соответственно у₁ = f₁(х) и у₂ = f₂(х). (рис 7).

Отношение площадей

S₁/S₂ = å у_1k/ å у_2k = f₁(х)dх / f₂(х)dх

Если у_1k/ у_2k = а = const, для любого k, то и S₁/S₂ = k.

Кавальери доказал теорему: Сумма квадратов неделимых параллелограмма втрое больше суммы квадратов неделимых треугольника, образованного в результате проведения диагонали (рис. 8).

Введём для краткости обозначения: АС = а, RT = x, TV = y, RS = а/2 = в, ST = z. Тогда х = в + z, у = в – z и сумма квадратов частей неделимых х² + у² = 2в² + 2z².

Суммируем все неделимые, обозначив сумму квадратов неделимых символом [ ]:

[AEC] + [CGE] = 2[ABFE] + 2[BCM] + 2[FEM].

Заметим, что

[AEC] = [CGE]; [ABFE] = 1/4[ACGE];

[BCM] = [FEM] = 1/8[ACE],

что нетрудно понять, вообразив над каждым линейным элементом квадрат и рассматривая их совокупности. Следовательно, [ACE] = 1/4[ACGE] + 1/8[ACE] + 1/8[ACE]; [ACE] = 1/3[ACGE].

В переводе на язык интегрального исчисления Кавальери доказал, что

х²dх = 1/3 а²dх

или иначе:

lim [(а/п)² (1² + 2² + … + п²)]/па² =

= lim å k²/п³ = 1/3.

Эту теорему Кавальери сумел обобщить на случай суммирования более высоких степеней неделимых, вплоть до девятой, решив таким образом группу задач, эквивалентных вычислению определённых интегралов вида:

х^пdх , для п = 1, …, 9.

3.3. Теорема Паскаля.

Среди последователей Кавальери самыми видными учёными, подготавливавшими создание интегрального и дифференциального исчисления, были Дж.Валлик, П.Ферма, Б.Паскаль.

Методы Валлика, изложенные в его «Арифметике бесконечных» (1655), развивались вслед за методом неделимых Кавальери. Валлик продвинулся значительно дальше Кавальери. При решении целого ряда геометрических задач Валлик по существу вычислял определённые интегралы от некоторых других алгебраических функций; у Валлика также впервые встречается в чётком виде арифметизированный предельный переход. При этом Валлик исходит уже не из примитивного понятия всех линий, а из суммы å f(х)_iDх_i. Он рассматривает площадь (определённый интеграл) как общий предел верхних и нижних интегральных сумм при описании и вписании ступенчатых фигур.

Вычислением интегралов от степеней х^r, или, как говорили в то время, квадратурой «парабол» у = х^r, где r – рациональное число, П.Ферма занимался ещё в 1644 г. позже Ферма изложил общую теорию всех различных случаев.

Ещё более чётко понятие определённого интеграла выступает в трудах Б.Паскаля. все его усилия были направлены на уточнение метода неделимых. Попытка уточнения состоит в том, что он сумму всех неделимых понимал как сумму элементарных площадок, образуемых бесконечно близкими, одинаково отстоящими друг от друга ординатами, ограниченными отрезком оси абсцисс и кривой (то есть сумму вида åуdх). В ряде задач он вводил сумму всех синусов, определяя её как сумму произведений ординат на элементы дуги (åуds), которая в случае окружности единичного радиуса оправдывает своё название (åsinjdj).

Для примера рассмотрим следующую теорему из «Трактата о синусе четверти круга» (1658) Паскаля:

Сумма синусов какой–нибудь дуги (BF) четверти круга (рис. 9) равна отрезку основания (АО) между крайними синусами, умноженному на радиус (АВ).

Дуга BF делится на равные части, отмеченные точками из которых из которых проводятся синусы DI. Точки пересечения касательных к дуге окружности в точках D обозначены точками Е; из последних затем опускаются перпендикуляры ER.

Предварительно Паскаль указывает, что

DI ^. EE = RR ^. AB (1)

Действительно (рис. 10), из подобных прямоугольников DIA и EKE (ÐЕЕК = ÐDAI) следует:

AD/DI = EE/EK

Ввиду того, что AB = AD, получаем равенство (1).

«Я утверждаю, — пишет после этого Паскаль, — что сумма синусов DI каждого умноженного на одну из равных дуг DD, равна прямой АО умноженной на радиус АВ». Заменяя каждую касательную ЕЕ дугой DD, Паскаль получает в левой части равенства (1) «сумму синусов», а в правой произведение АВ на сумму отрезков RR, то есть, на АО. Итак, теорема доказана. Отождествление дуги DD с отрезком касательной Паскаль только подразумевает.

Чтобы перевести доказательство Паскаля на современный язык введём соответствующую систему декартовых координат, обозначим «синус DI» через у, элемент дуги DD – через ds, дифференциал независимого переменного – через dх, радиус АВ – через r. Тогда равенство (1) можно записать так:

уds = rdх

Интегрируя согласно содержанию теоремы Паскаля, получим:

уds = rdх. (2)

Более сложный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, сводится таким образом к более простому интегралу правой части, равному rx, а для целой четверти r².

Положим r = 1 и введём угол DAB = Ð ADI = j. Тогда (рис. 10)

S = rj = j, у = DI = AD cos j = cos j, х = sin j.

Равенство (2) даёт:

cos j dj = х = sin j.

На рассмотренном выше DЕЕК Лейбниц построил своё дифференциальное исчисление и назвал его характеристическим.

3.4. «О глубокой геометрии» Лейбница.

С основными достижениями математики XVII в. Лейбниц познакомился в начале 70–х гг. этого столетия, когда под вниманием голландского учёного Х. Гюйгенса изучил, кроме его работ, труды Кавальери, Валлиса, Паскаля и др. два года спустя после опубликования мемуара 1684 г., 1–го печатного труда Лейбница по дифференциальному исчислению, появился его новый мемуар «О глубокой геометрии и анализе неделимых, а также бесконечных». Это была первая печатная работа по интегральному исчислению. Основным понятием для Лейбница была сумма актуально бесконечных малых треугольников уdх, на которые разбивается криволинейная фигура, то есть, определённый интеграл. В этом же мемуаре впервые появляется не только знак , но и запись уdх, причём Лейбниц предупреждает, что не следует забывать писать под знаком интеграла множитель dх.

Лейбниц, исходя из «характеристического» треугольника С катетами dх и dу (разности абсцисс и ординат двух близких точек линии) и гипотенузой ds (бесконечно малой дуги кривой или бесконечно малого отрезка касательной к дуге), приходит к равенству (дифференциальному уравнению)

рdу = хdх, где р – поднормаль (отрезок IA, рис. 10)

«Если, — пишет он, — обратить это разностное (дифференциальное) уравнение в суммирующее, то будет

рdу = хdх.

Но из того, что я изложил в своём методе касательных, явствует, что

1/2 dх² = хdх;

следовательно, и обратно:

1/2 х² = хdх,

ибо у нас суммы и разности или и d взаимно обратны, как в обычном исчислении степени и корни».

Таким образом, исходя из понятия определённого интеграла, Лейбниц приходит к понятию функции F(х) первообразной (или примитивной) для данной функции f(х) так, что

читать дальше

8