Теорема. (Ньютона–Лейбница)
Производная определённого интеграла от непрерывной на [а,в] функции f , рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования. F’(х) = ( f(t)dt) = f(х)1, х Î [а,в] .
Доказательство: Пусть х Î [а,в], х + Dх Î [а,в]; тогда в силу теоремы 1 пункта 2.12. получим F(х +Dх) = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt
Найдём соответствующее приращение DF функции F. Используя равенства (V) и теорему 4 пункта 2.12. имеем DF = F(х +Dх) – F(х) = f(t)dt = f(с)Dх, где
с Î [х, х +Dх]
Вычислим производную функции (V): F’(х) = lim = lim = lim f(с) Если Dх® 0, то х + Dх® 0 и с ® х, так как с Î [х, х+Dх]. Тогда в силу непрерывности f получим
F’(х) = lim f(с) = f(х) Что и требовалось установить.
Легко вытекает следующее утверждение: всякая непрерывная на [а,в] функция имеет на этом отрезке первообразную при этом одной из первообразных является интеграл (V).
Действительно, пусть функция f непрерывна на [а,в]; тогда она интегрируема на любом на [а,х], где х Î [а,в], то есть, существует интеграл (V), который и является первообразной функцией для f . Следовательно, неопределённый интеграл от непрерывной на [а,в] функции f можно записать в виде f(х)dх = f(t)dt + С, х Î [а,в]
где С – произвольная постоянная.
2.11. Формула Ньютона–Лейбница.
Теорема. Если Ф – первообразная для непрерывной на [а,в] функции f, то определённый интеграл от функции f вычисляется по формуле
f(х)dх = Ф(в) – Ф(а). 
Доказательство: Пусть Ф некоторая первообразная для функции f . В силу предыдущей теоремы функция (V) также является первообразной для функции f . Поскольку две первообразные Ф и F отличаются друг от друга на некоторую постоянную, имеем f(х)dх = Ф(х) + С (1)
Положим в последнем равенстве х = а. Так как f(х)dх = 0,
то Ф(а) + С = 0, откуда С = – Ф(а)
Подставляя найденное значение С в соотношение (1), имеем f(х)dх = Ф(х) – Ф(а).
Полагая в последнем соотношении х = в и обозначая переменную t через х, окончательно получим равенство указанное в теореме.
Формулу Ньютона–Лейбница в сокращённом виде принято записывать так: f(х)dх = Ф(х)| = Ф(в) – Ф(а)
Примеры. 1)
sin хdх = – cos х| = – cos 2p + cos 0 = 0. 2)
= ln |x + x2+1| = ln (1+Ö2) – ln 1 = ln (1+Ö2)2.12. Замены переменных в определённых интегралах.
Пусть требуется в определённом интеграле f(х)dх
применить подстановку х = j(t). Тогда имеет место следующая формула замены переменных в определённом интеграле: f(х)dх = f [j(t)]j’(t)dt,
где j(a) = а, j(b) = в.
Эту формулу мы докажем при условиях:
1. Функции j(t) и j’(t) непрерывны в [a, b].
2. Функция f(х) определена и непрерывна для всех значений, которые функция х = j(t) принимает в [a, b].
3. j(a) = а, j(b) = в.
4.
Доказательство: Обозначим через М и т наибольшее и наименьшее значения функции х = j(t) в [a, b]. Пусть F(х) = f(х)dх, т £ х £ М.
По теореме о подстановке в неопределённых интегралах для всех t из [a, b] справедливо равенство 
F[j(t)] = f[j(t)]j’(t)dt. 
Отсюда f[j(t)]j’(t)dt = F[j(b)] – F[j(a)] = F(в) – F(а)Так как f(х)dх = F(в) – F(а)
то из сравнения последних двух равенств получим доказываемую формулу.
Пример. Вычислить интеграл 
J = х 1+х2dх 
Подставим 1+х2 = t, то есть, х = t2 –1 . Имеем: t = 1, при х =0, t = Ö2, при х = 1. Так как dх = tdt/ t2 –1 , то J = t2dt = t3/3| = (2Ö2 – 1)/3.
2.13. Интегрирование по частям.
Пусть функции f(х) и j(х) непрерывны вместе со своими производными в интервале [а,в]. Пусть, далее,
F(х) = f(х) j(х).
Тогда F’(х) = f(х) j’(х) f’(х) j(х).
Так как F’(х)dх = F(х)| , то [f(х) j’(х) f’(х) j(х)]dх = f(х) j(х)| , откуда f(х) j’(х)dх = f(х) j(х)| – f’(х) j(х)dх
Примеры.
1)
Вычислить интеграл. 
х cos х dх 
Положив f(х) = х, j(х) = sin х получим: х cos х dх = х sin х| – sin х dх = –2
2)
Вычислить интеграл ln х dх.
Положив f(х) = ln х, j(х) = х получим: ln х dх = [х ln х] – х(dх/х) = = [х ln х] – [х] = 2 ln2 – 1 = ln4 – 1