Теорема 3. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких непрерывных функций равен алгебраической сумме определённы интегралов от этих функций.
[f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх = f1(х)dх + f2(х)dх – f3(х)dх
= f1(х)dх + f2(х)dх – f3(х)dх
Теорема 3. (о среднем значении определённого интеграла)
f(х)dх = (в–а) f(с)
Доказательство: Так как функция f(х) непрерывна на [а,в], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений М и т на [а,в]. произведём обычное разбиение интервала [а,в], на п частичных интервалов Di длиной Dхi = х f(ai) ³ т – хi–1(i = 1, …, п).
Так как f(ai) ³ т при любом ai, то
так как å Dхi = Dх1+Dх2 + … + Dхп = в – а.
Так как, далее, f(ai) £ т, при любом ai, то
то есть, å f(ai)Dхi £ М(в – а).
т(в – а) £ å f(ai)Dхi £ М(в – а).
т(в – а) £ f(х)dх £ М(в – а)
(в – а)
f(х)dх
(в – а)
можно принять за значение f(с) функции f(х) в некоторой промежуточной точке с интервала [а,в] (т £ f(с)£ М).
( f(х)dх) / (в – а) = f(с)
или
S = f(х)dх
Таким образом, в случае, когда f(х) ³ 0, то есть, когда график функции у = f(х) располагается над осью Ох, определённый интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции.
Если же f(х) = 0 при а £ х £ в, то есть если кривая располагается под осью Ох, то сумма
Тогда с геометрической точки зрения определённый интеграл от f(х)dх численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной интервалом [а,в] оси Ох (а £ х £ в), непрерывной кривой у = f(х) и отрезками прямых х = а, х = в, равными f(а) и f(в).
2.10. Теорема Ньютона–Лейбница.
Пусть функция f непрерывна на [а,в]. тогда она интегрируема на любом отрезке, [а,х], где а £ х £ в, то есть, для любого х Î [а,в], существует интеграл
Если f(t)³0 " tÎ[а,в], то F(х) = S(х), где S(х) – площадь криволинейной трапеции аАL(х) (рис. 5)
|
Эта функция непрерывна и дифференцируема на [а,в]. А именно имеет место следующая теорема.