å f(ai)Dхi равна сумме площадей криволинейной трапеции аАВв, взятой со знаком минус (рис. 4)Тогда с геометрической точки зрения определённый интеграл от f(х)dх численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной интервалом [а,в] оси Ох (а £ х £ в), непрерывной кривой у = f(х) и отрезками прямых х = а, х = в, равными f(а) и f(в).
2.10. Теорема Ньютона–Лейбница.
Пусть функция f непрерывна на [а,в]. тогда она интегрируема на любом отрезке, [а,х], где а £ х £ в, то есть, для любого х Î [а,в], существует интеграл
F(х) = f(t)dt (V)Если f(t)³0 " tÎ[а,в], то F(х) = S(х), где S(х) – площадь криволинейной трапеции аАL(х) (рис. 5)
Определение. Функция F определённая соотношением (V) на [а,в] называется интегралом с переменным верхним пределом. Эта функция непрерывна и дифференцируема на [а,в]. А именно имеет место следующая теорема.