Смекни!
smekni.com

Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр) (стр. 5 из 9)

lim å k f(ai)Dхi = k lim å f(ai)Dхi,
и так как, по определению, lim å f(ai)Dхi = f(х)dх
то k f(х)dх = k lim å f(ai)Dхi = k f(х)dх

Теорема 3. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких непрерывных функций равен алгебраической сумме определённы интегралов от этих функций.

Доказательство: Докажем, например, что

[f1(х) + f2(х) – f3(х)] = f1(х) + f2(х) f3(х)

в самом деле имеем:
[f1(х) + f2(х) – f3(х)] = lim å [ f1(ai) + f2(ai) f3(ai)]Dхi =

= lim å f1(ai)Dхi + lim å f2(ai)Dхi lim å f3(ai)Dхi =

= f1(х) + f2(х) f3(х)

Теорема 3. (о среднем значении определённого интеграла)

Если функция f(х) непрерывна на [а,в], то внутри него найдётся такая точка С.

f(х) = (в–а) f(с)

Доказательство: Так как функция f(х) непрерывна на [а,в], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений М и т на [а,в]. произведём обычное разбиение интервала [а,в], на п частичных интервалов Di длиной Dхi = х f(ai) ³ т хi–1(i = 1, …, п).

Так как f(ai) ³ т при любом ai, то

f(ai)Dхi ³ тDхi
откуда å f(ai)Dхi ³ т å Dхi
или å f(ai)Dхi ³ т(в – а)

так как å Dхi = Dх1+Dх2 + … + Dхп = в – а.

Так как, далее, f(ai) £ т, при любом ai, то

f(ai)Dхi £ МDхi
а потому å f(ai)Dхi £ М åDхi,

то есть, å f(ai)Dхi £ М(в – а).

Таким образом, имеем

т(в – а) £ å f(ai)Dхi £ М(в – а).

Переходя к пределу при max Dхi® 0, получим неравенства

т(в – а) £ f(х) £ М(в – а)

f(х)

(в – а)

Из этих неравенств и теореме о непрерывной функции на [а,в], принимающей в этом [а,в] все промежуточные значения между своими наибольшими и наименьшими значениями, следует, что отношение

f(х)

(в – а)

можно принять за значение f(с) функции f(х) в некоторой промежуточной точке с интервала [а,в] (т £ f(с)£ М).

Таким образом,

( f(х)) / (в – а) = f(с)

или

f(х) = (в – а)f(с)

2.9. Геометрический смысл определённого интеграла.
Известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной кривой у = f(х), снизу – интервалом [а,в] оси Ох (а £ х £ в) и с боковых сторон – прямыми х = а, х = в, равна
S = lim å f(ai)Dхi
Но, по определению,
f(х) = lim å f(ai)Dхi

следовательно,

S = f(х)

Таким образом, в случае, когда f(х) ³ 0, то есть, когда график функции у = f(х) располагается над осью Ох, определённый интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции.

Если же f(х) = 0 при а £ х £ в, то есть если кривая располагается под осью Ох, то сумма

å f(ai)Dхi

равна сумме площадей криволинейной трапеции аАВв, взятой со знаком минус (рис. 4)

Тогда с геометрической точки зрения определённый интеграл от f(х) численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной интервалом [а,в] оси Ох (а £ х £ в), непрерывной кривой у = f(х) и отрезками прямых х = а, х = в, равными f(а) и f(в).

2.10. Теорема Ньютона–Лейбница.

Пусть функция f непрерывна на [а,в]. тогда она интегрируема на любом отрезке, [а,х], где а £ х £ в, то есть, для любого х Î [а,в], существует интеграл

F(х) = f(t)dt (V)

Если f(t)³0 " tÎ[а,в], то F(х) = S(х), где S(х) – площадь криволинейной трапеции аАL(х) (рис. 5)


Определение. Функция F определённая соотношением (V) на [а,в] называется интегралом с переменным верхним пределом.

Эта функция непрерывна и дифференцируема на [а,в]. А именно имеет место следующая теорема.