Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов dхх и dху или, соответственно, dtх и dtу.
Значение формулы (4) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то
у’х = f’(х);
когда же зависимость переменной у от х даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то
у’х = f’(и)и’х.
При отыскании же дифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы:
dху = f’(х) dхх, dху = f’(и) dхи
или
dу = f’(х) dх, dу = f’(и) dи.
1.4 Дифференциал суммы, произведения и частного.
Из теорем о производных суммы, произведения и частного можно получить аналогичные формулы для дифференциалов суммы, произведения и частного. Пусть и и J — функции от х:
и = f(х), J = j(х),
имеющие непрерывные частные производные.
Если положить у = и + J,
то у’х = и’х + J’х,
откуда у’х dх = и’х dх + J’хdх,
следовательно dу = dи + dJ,
то есть d(и + J) = dи + dJ.
Аналогично dси = сdи,
где с – постоянное число;
d(иJ) = иdJ + Jdи, d ( ) = .
Замечание. На практике часто бывает выгоднее оперировать дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимой переменной переходить к производной.
1.5 Геометрическая интерпретация дифференциала.
Дифференциал можно геометрически представить следующим образом: 
Из рис. 2 видно, что dу = f’(х)dх = tg a . dх = СД.
Таким образом, если Dу – приращение ординаты кривой, то dу – приращение ординаты касательной.
Дифференциал dу, вообще говоря, отличается от Dу, но их разность очень мала по сравнению dх для очень малых dх, так как = a (Dх) = 0
На практике, когда речь идёт только о приближённых значениях, можно для малых приращений dх считать
Dу = dу = f’(х)dх.
2. Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной.
2.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл.
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(х) или дифференциала f’(х)dх данной функции f(х).
В интегральном исчислении решается обратная задача:
Дана функция f(х); требуется найти такую функцию F(х), производная которой f(х)dх в области определения функции f(х), то есть, в этой области функции f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх.
Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции f(х), если для любого х из области определения f(х) выполняется равенство F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх.
Примеры. 1) Пусть f(х) = cos х.
Решение: Тогда F(х) = sin х, так как F’(х) = cos х = f(х) или dF(х) = cos х dх = f(х)dх
2) Пусть f(х) = х2. Решение: Тогда F(х) = , так как F’(х) = х2 = f(х) или dF(х) = х2dх = f(х)dх.
Известно, что если две функции f(х) и j(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если f(х) = j(х) + С, то f’(х) = j’(х) или f’(х)dх = j’(х)dх.
Известно также, что и наоборот, если две функции f(х) и j(х) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если
f’(х) = j’(х) или dхf(х) = dj(х), то
f(х) = j(х) + С.
Замечание. Действительно, если производная f’(х) обращается в нуль для любых значений х в (а,в), то в этом интервале f(х) = С.
В самом деле, если х1Î (а,в) и х2 Î (а,в), то в силу теоремы Лагранжа, имеем f(х2) – f(х1) = (х2–х1) f’(х0), где х1< х0< х2 . Но, так как f’(х0) = 0, то f(х2) – f(х1) = 0.
Отсюда непосредственно следует что, если в формуле у = F(х) + С мы будем придавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f(х).
Определение. Множество F(х) +С всех первообразных функций для функции f(х), где С принимают все возможные числовые значения, называется неопределённым интегралом от функции f(х) и обозначается символом f(х)dх
Таким образом, по определению, f(х)dх = F(х) + С, (А)
где F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх и С – произвольная постоянная. В формуле (А) f(х) называется подынтегральной функцией, f(х)dх – подынтегральным выражением, а символ – знаком неопределённого интеграла. Неопределённым интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.
Определение. Нахождение первообразной по данной функции f(х) называется интегрированием
2.2. Геометрический смысл неопределённого интеграла.
Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С1 получим конкретную функцию у1 = F(х) + С1, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С2, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.
Аналогично можно построить график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С2, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С1, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С2 – С1/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х2 + С от функции f(х) = 2х, то есть, семейства парабол.2.3. Основные свойства неопределённого интеграла.
1) Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть,
[ f(х)dх ]’ = f(х) . Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла, f(х)dх = F(х) + С, (V)
где F’(х) = f(х)
Дифференцируя обучение части равенства (V), имеем [ f(х)dх ]’ = [F(х) + С ]’,
откуда [ f(х)dх ]’ = F’(х) + С1 = F’(х) = f(х) .
2)
Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть d f(х)dх = f(х)dх
Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла, f(х)dх = F(х) + С d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх = f(х)dх
3)
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции F(х) равен самой функции с точностью до произвольной постоянной С, то есть dF(х) = F(х) + С, (v)
Доказательство. Продифференцировав оба равенства (v), будем иметь d dF(х) = dF(х) (по свойству 2)
d(F(х) + С) = dF(х) следовательно, функции dF(х) и dF(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть dF(х) = F(х) + С