Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства (стр. 9 из 20)

(1)

или

(2),

называется уединением радикала.

Разобьем простейшие неравенства на две группы:

I – неравенства, содержащие радикал четной степени, т.е.

II - неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е.

I. Рассмотрим решение неравенств вида (1). Ясно, что всякое решение этого неравенства является в то же время решением неравенства

(при этом условии имеет смысл левая часть неравенства) и решением неравенства

(поскольку

). Значит, неравенство

(3)

равносильно системе неравенств:

где

следствия неравенства (3). Так как в области, определяемой первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат на указанном множестве есть равносильное преобразование неравенства. В результате получаем, что неравенство (3) равносильно системе неравенств:

Таким образом, мы вывели теорему о решении неравенств вида (3).

Теорема 1. Неравенство вида

равносильно системе неравенств:

Аналогично для неравенств вида

Теорема 2. Неравенство вида

равносильно системе неравенств

Рассмотрим теперь неравенства вида (2), т.е.

(4)

Оно равносильно системе

(5)

Но в отличие от неравенства (3)

может здесь принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому, рассмотрев систему (5) в каждом из двух случаев

, получим совокупность систем:

В первой их этих систем последнее неравенство можно опустить как следствие двух первых неравенств. Во второй системе обе части последнего неравенства можно возвести в квадрат (так как обе его части положительны).

Итак, неравенство (4) равносильно совокупности двух систем неравенств

Заметим, что второе неравенство второй системы можно опустить - оно является следствием последнего неравенства системы.

Теорема 3. Неравенство вида

равносильно совокупности двух систем неравенств

Аналогично.

Теорема 4. Неравенство вида

равносильно совокупности двух систем неравенств

Неравенства вида

являются частными случаями рассмотренных выше неравенств, когда

Пример 1. Решим неравенство

Решение. Заданное неравенство - неравенство вида (3), поэтому по теореме 1 оно равносильно системе неравенств:

Так как квадратный трехчлен

имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент, то он положителен при всех значениях

. Поэтому решения последней системы таковы:

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство

Решение. По теореме 3 наше неравенство эквивалентно совокупности систем неравенств

Применим метод интервалов для решения последней конструкции неравенств.

Решение первой системы:

Второй:

Получаем совокупность

Ответ:

Пример 3. Решить неравенство

Решение. По теореме 1 наше неравенство эквивалентно системе

Последнее неравенство системы выполняется всегда. если

Итак, решением неравенства является

исключая

Ответ:

II. Рассмотрим теперь неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е.

. Решение также проводится также путем последовательного возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место следующие эквивалентные преобразования:

При

при возведении в степень

знак не изменится, т.к.

. Значит

при