
,
равносильное данному.
Доказательство: пусть

- произвольное решение неравенства

. Причем

и

(по условию). Тогда

- истинное числовое неравенство. Но по свойству 17 числовых неравенств получаем, что числовое неравенство

тоже истинно. Что и требовалось доказать.
Замечание. При выполнении тождественных преобразований возможно изменение области определения выражения. Например, при приведении подобных членов, при сокращении дроби может произойти расширение области определения. При решении неравенства в результате тождественных преобразований может получиться неравносильное неравенство. Поэтому после выполнения тождественных преобразований, которые привели к расширению области определения неравенства, из найденных решений нужно отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства.
3. Корень
- й степени. Иррациональные неравенства. Определение. Корнем

- й степени из действительного числа

называется действительное число

такое, что

.
В частности, если

,

, то из

получаем, что

или

. Если

,

, то из

получаем, что

. Заметим, что если

- четное, а

, то по свойствам действительных чисел не существует действительных

таких, что

. Если

- четное, а

, то существует ровно два действительных различных корня

- й степени из

. Положительный корень обозначается через

- арифметический корень

- й степени из

, отрицательный

. Если

, то при любом

существует единственный корень

- й степени из

- число

.
Если,

- нечетное, то для любого действительного числа

существует единственный корень

- й степени из

. Этот корень называется арифметическим корнем

- й степени из числа и обозначается

.
Итак:
1.

- четное,

,

- арифметический корень

- й степени из неотрицательного числа

.
2.

- нечетное,

- любое действительное число,

- арифметический корень

- й степени из действительного числа

.
Значит, если показатель корня - число нечетное, то действия с такими корнями не вызывают затруднений (

имеет тот же знак, что и

), Основной случай для исследования - когда

- четное.
Пусть функция

- иррациональная, т.е. задается с помощью иррационального алгебраического выражения и не может быть задана с помощью рационального алгебраического выражения.
Иррациональным неравенством называется неравенство вида

. Для того, чтобы найти множество решений иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. Несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения иррационального уравнения и иррационального неравенства, между ними существует большое отличие. При решении иррациональных уравнений можно не заботиться о том, чтобы после возведения в степень получилось уравнение, эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение имеет конечное число корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения исходного иррационального уравнения.
Множество решений неравенства представляет собой, как правило, бесконечное множество чисел, и поэтому непосредственная проверка решений путем подстановки этих чисел в исходное неравенство становится принципиально невозможной. Единственный способ, гарантирующий правильность ответа, заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом преобразовании неравенства у нас получалось неравенство, эквивалентное исходному.
Решая иррациональные неравенства следует помнить, что при возведении обеих его частей в нечетную степень всегда получается неравенство, эквивалентное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в четную степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исходному и имеющее тот же знак, лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
4. Решение простейших иррациональных неравенств
Если иррациональное неравенство содержит один радикал, то всегда можно привести его к равносильному неравенству, в котором радикал будет находиться в одной части неравенства, а все другие члены неравенства - в другой его части, то есть неравенству вида

или

, где

и

- рациональные алгебраические выражения относительно переменной

. Привидение иррационального неравенства, содержащего один радикал к виду