Частным решением неравенства

называется всякое удовлетворяющее ему значение переменной

.
Решением неравенства называется множество всех его частных решений.
Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают (в частности, если оба неравенства не имеют решений). Если каждое частное решение неравенства

является в то же время частным решением неравенства

, полученного после преобразований неравенства

, то неравенство

называется
следствием неравенства

. В следующих теоремах речь идет о преобразованиях, приводящих к равносильным неравенствам.
Теорема 18. Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже функцию

, которая определена при всех значениях

из области определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким образом, неравенства

(1)
и

(2)
равносильны.
Доказательство: Пусть

=

- произвольное решение неравенства

. Тогда

- истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим его частям число

(по условию это число существует, ибо неравенства (1) и (2) имеют одну и ту же область определения. На основании свойства 6 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство

- истинное. Следовательно, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2).
Обратно, пусть

- произвольное решение неравенства (2), значит

- истинное числовое неравенство. После вычитания из обеих частей этого неравенства числа

по свойству 6 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство

. Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.
Следствие. Неравенства

и

равносильны.
Теорема 19. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию

, которая при всех значениях

из области определения исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом оставить без изменения знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.
Таким образом, если

, то неравенства

(1)
и

(2)
(или

) равносильны.
Доказательство: пусть

произвольное решение неравенства (1). Тогда

- истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число

(по условию это число существует, ибо функция

имеет смысл при всех

из области определения неравенства (1), причем

). Н основании свойства 3 числовых неравенств заключаем. что числовое неравенство (2) тоже истинное при

.
Обратно, пусть

- произвольное решение неравенства (2), значит

- истинное числовое неравенство. После деления обеих частей неравенства на число

(по условию) по свойству 12 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство

.
Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 20. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию

, которая при всех значениях

из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство. равносильное исходному.
Таким образом, если

, то неравенства

(1)
и

(2)
(или

) равносильны.
Доказательство: Пусть

произвольное решение неравенства (1). Тогда

- истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число

(по условию это число существует, ибо функция

имеет решение при всех

из области определения неравенства (1)). На основании свойства 4 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство

тоже истинное.
Обратно, пусть

- произвольное решение неравенства (2), значит

-истинное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на число

по свойству 4 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство

.
Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.
Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и тоже отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 21. Пусть дано неравенство

, причем

и

при всех

из области определения неравенства. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же натуральную степень

и при этом знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство