Действительно,

Теорема 6. Если

и

- произвольное число, то

, т.е. к обеим частям неравенства можно прибавить произвольное число.
Действительно,

, где

. Следовательно,

, а так как

, имеем:

.
Теорема 7. Если

,

и

, то

. Предварительно напомним, что

есть обратное число, т.е. такое, что

. Имеем

. Но, с другой стороны,

Следовательно, и

, так как, если произведение и один из множителей положительны, то и другой множитель положителен. Значит

.

Теорема 8. Если

, то

, т.е. квадрат любого отличного от нуля числа положителен. Это следует из определения умножения положительных и отрицательных чисел.
Теорема 9. Если

и

, то

, т.е. два неравенства одинакового смысла можно сложить.
Имеем

,

,где

и

. Следовательно,

или

где

, что и требовалось доказать.
Теорема 10. Если

и

, то

. Как легко показать, разность

положительна.
Теорема 11. (о перемножении неравенств)
Если

,

и

и

положительны, то

, т.е. обе части неравенства с положительными членами можно умножить на неравенство того же смысла, больший член которого положителен.
Имеем последовательно:

Здесь каждое произведение, а следовательно, и сумма положительны, что и требовалось доказать.
Теорема 12. (о делении неравенств)
Если

,

,

,

,

- положительны, то

.
Действительно, здесь

, и, на основании теоремы о перемножении неравенств, имеем

, что и требовалось доказать.
Теорема 13. Если

- четное число,

, а

, то

, т.е. четная степень любого числа, отличного от нуля, положительна.
Теорема вытекает из положений, что

и

.
Теорема 14. Если

- нечетное число,

и

, то

, т.е. отрицательное число в нечетной степени отрицательно.
Теорема вытекает из следующих соотношений:

и

.
Теорема 15. Если

- нечетное число,

и

- положительно, а

- отрицательно, то

. Из предыдущего видно, что

, а

, откуда

.
Теорема 16. Если числа

и

положительны и

, то

, где

- целое положительное число.
Действительно, если предположить, что

, то возведя обе части неравенства в степень

. получим

, т.е. придем к противоречию.
Теорема 17. Если

, то

, где

- произвольное положительное рациональное число.
В самом деле, из

имеем

и дальше

.
Мы рассмотрели числовые неравенства. Пусть теперь нам даны две функции

и

. Если поставить между ними один из знаков неравенства (>,<,

,

), получим
условное неравенство. В дальнейшем такие условные неравенства мы будем называть просто неравенства.
Областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства

называется множество таких значений

, при которых и функция

, и функция

определены. Иными словами, ОДЗ неравенства

- это пересечение ОДЗ функции

и ОДЗ функции

.