Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства (стр. 14 из 20)
или:
В ОДЗ правая часть неравенства всегда положительна, поэтому возведем в квадрат обе части неравенства
решение этого неравенства х Î [0; 3]. Этот промежуток принадлежит ОДЗ.
Ответ: х Î [0; 3].
Пример 2. Решить неравенство:
Решение. Найдем ОДЗ неравенства:
откуда получаем x £ 1, х ³ 5, х = 2
Перепишем наше неравенство следующим образом:
Поскольку обе части неравенства положительны и имеют смысл на ОДЗ, возведем в квадрат обе части этого неравенства, получим:
Правая часть полученного неравенства на ОДЗ всегда положительна, поэтому имеем право возвести обе части его в квадрат и получим равносильное неравенство:
(х – 2)2(х – 5)(х – 1) £ 9(х – 2)2(х – 1)2
или:
(х – 2)2(х – 1) (х – 5 – 9х + 9)£ 0
(х – 2)2(х – 1) (4 – 8х)£ 0
откуда методом интервалов получаем: х £ ½, х ≥ 1
Учитывая ОДЗ, получаем
Ответ: х £ ½, х = 1, х ≥ 5, х = 2
11. Решение иррациональных неравенств путем проб, выводов.
Пример 1. Решить неравенство:
(1)Решение. Область определения неравенства (1): 2 £ х £ 3.
Прежде, чем возводить в квадрат обе части неравенства (1), необходимо убедиться в том, что обе его части неотрицательны.
Однако, оказывается, что это не так.
Действительно, так как 2 £ х £ 3, то 1 £ х – 1 £ 2 и 3 £ 6 – х £ 4. А это значит, что
или 
. Но 
. Таким образом, при всех значениях х из отрезка 2 £ х £ 3 неравенство (1) выполняется. Итак, 2 £ х £ 3 - решение неравенства.Пример 2. Решим неравенство:
Решение. Найдем ОДЗ неравенства:
откуда получаем, что ОДЗ неравенства х = 2 – единственная точка. Подстановкой легко проверить, что х = 2 является решением исходного неравенства.
Ответ: х = 2.
12. Решение более сложных примеров.
Пример 1. Решить неравенство
Решение. Используем метод интервалов. Решим соответствующее уравнение.
Решением уравнения являются значения переменной х = 0 и
при любом действительном значении параметра а.Корни соответствующего уравнения разбивают числовую ось на промежутки знакопостоянтства, в каждом из которых неравенство или тождественно истинное, или тождественно ложное.
а) если a > 0, то
и числовая ось разбивается на следующие промежутки знакопостоянства: x < 0, 
Рассмотрим промежуток
. Возьмем значение х = а из этого промежутка и подставим в данное неравенство. Получим: 
- истинное числовое неравенство. Следовательно, промежуток 
принадлежит решению. Любое значение переменной х, взятое из промежутка знакопостоянства 
, обращает данное неравенство в ложное числовое неравенство. Например, при 
имеем ложное числовое неравенство 
.Следовательно, промежуток
не принадлежит решению.Подставив, например, х = -а, взятое из промежутка знакопостоянства x < 0, в данное неравенство, получим истинное числовое неравенство
. Значит, числовой промежуток x < 0 принадлежит решению. Итак, при a > 0 решением неравенства является объединение двух числовых промежутков x < 0 и 
.б) если a < 0, то
и числовая ось разбивается на промежутки знакопостоянства 
. Как и в первом случае, устанавливаем, что данное неравенство тождественно истинное в промежутках 
и x > 0 и тождественно ложное в промежутке 
. Следовательно, при a < 0 решением неравенства будет объединение двух числовых промежутков 
и x > 0.в) при а = 0
. Получим два промежутка знакопостоянства: x < 0 и x > 0, каждый из которых, как легко установить принадлежит решению.Ответ: 1) при
2) при
.Пример 2. Решить неравенство
ОДЗ: 5х – 7 ≥ 0
log57 ≤ x < +∞
Возводим обе части в квадрат:
решением последнего неравенства является промежуток х ≤ 2. Учитывая ОДЗ получаем решение исходного неравенства log57 ≤ x ≤ 2.
Ответ: log57 ≤ x ≤ 2.
13. Подборка задач по теме «решение иррациональных неравенств».
14. Классические неравенства.
Рассмотрим некоторые наиболее важные для математического анализа неравенства. Эти неравенства служат аппаратом, который повседневно используют специалисты, работающие в этой области математики.
Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом.
Теорема 1. Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и b не меньше их среднего геометрического, т. е.:
(1)Равенство имеет место в том и только том случае, когда a = b.
Доказательство. Поскольку квадратный корень может доставить немало хлопот, мы постараемся от него избавиться, положив a = c2, b = d2, что допустимо, ибо в теореме 1 предполагается, что числа а и b неотрицательны. При этом соотношение (1), в справедливости которого для произвольных неотрицательных чисел а и b мы хотим убедиться, примет следующий вид:
, (2)где с и d – произвольные действительные числа.
Неравенство (2) имеет место в том и только том случае, когда
,что в силу основных правил, относящихся к неравенствам, равносильно тому, что
с2 + d2 – 2cd ≥ 0 (3)
Но с2 + d2 – 2cd = (с – d)2 , значит неравенство (3) равносильно
(с – d)2 ≥ 0 (4)
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то ясно, что соотношение (4) всегда имеет место. Значит справедливы и неравенства (3), (2), (1). Равенство в формуле (4), а значит и в формуле (1) достигается в том и только в том случае, когда c – d = 0, т.е. c = d, или, иначе говоря, когда a = b.
Покажем теперь, что теорему 1 можно вывести геометрическим путем простого сравнения некоторых площадей.
Рассмотрим график функции у = х, изображенный на рисунке.
Пусть S и Т точки прямой у = х с координатами (с, с) и (d, d). Рассмотрим также точки Р(с, 0), Q(0, d), R(c, d). Так как длина отрезка ОР равна с, то длина отрезка PS также равна с. Поэтому площадь ∆OPS, полупроизведение длин его основания и высоты равна
.Рассмотрим теперь прямоугольник OPRQ. Он полностью покрывается ∆OPS и ∆OQT, так что