
.
Рассмотрим отношение

, в случаях

и

.
Если

, то

, так как

.
Если

, то считая

, получим

.
Поэтому

.
Следовательно, полагая

, получим неравенство

.
Предложение 4 доказано.
Следующее предложение характеризует среднее значение

в нужной для нас форме.
Предложение 5. Для

имеет место следующая оценка сверху

,
где

- постоянная

.
Доказательство. Имеем

.
Последняя сумма геометрически представляет собой число целых точек в первой четверти, лежащих на или под гиперболой

, при этом целые точки, лежащие на осях координат исключаются, так как для них

. Поэтому исследуемую сумму можно записать в виде

, где

- целая часть числа

.
Оцениваем теперь сумму

,
где

.
Здесь мы воспользовались следующим соотношением из математического анализа

,
где

есть так называемая постоянная Эйлера.
Предложение 5 доказано.
Перейдем теперь к элементарному доказательству следующего результата.
Теорема (Зигель). Для числа

всех приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта

справедливо неравенство

,
где

- произвольное положительное число,

- постоянная, зависящая только от

.
Доказательство. Пусть

- неопределенная приведенная форма дискриминанта

. Тогда

,

,

.
Оценим сверху число приведенных форм с

и

. Тогда

.
Применяя к последней сумме предложения 3,4,5, получим

, где

.
Теорема доказана.
§4. О диагональных формах и оценка снизу числа классов в роде.
В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем соответствующие понятия.
Определение 1. Целое число

, не делящееся на простое число

называется квадратичным вычетом по модулю простого числа, если число

сравнимо с квадратом некоторого целого числа по модулю

, т.е.

- квадратичный вычет по модулю

, если сравнение

имеет решение; в противном случае число

называется квадратичным невычетом по модулю

. В теории квадратичных вычетов очень полезно использование так называемого символа Лежандра.
Определение 2. Символом Лежандра

числа

по простому модулю

, которое определяется следующим соотношением

Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам понадобятся.
Свойство 1.

, если

.
Свойство 2. Если

, то

(свойство периодичности).
Свойство 3.

(свойство мультипликативности)
Свойство 4.

, если

.
Определим теперь понятие рода квадратичных форм, впервые введенное Гауссом. Совокупность классов собственно примитивного порядка данного дискриминанта

Гаусс в своей арифметической теории квадратичных форм разделяет на ряды, относя в один и тот же род все те классы, формы которых имеют и тот же «характер». Под характером примитивной формы или примитивного класса форм Гаусс понимает следующее.
Пусть

- простой делитель дискриминанта

, и пусть число всех этих различных модулей

равно

. Можно показать, что если

- один из этих

модулей, то для всех чисел

, представимых данной собственно примитивной формой дискриминанта

и взаимно простых с

, символы Лежандра

имеют одно и то же значение. В самом деле, пусть

- собственно примитивная форма дискриминанта

и

- любой нечетный простой делитель числа

и

,

- два числа, представляемых формой

и не делящихся на

. Подстановка

определителя

переводит

в форму

(см. соотношения (3) §1), причем

, откуда

, т.е. в силу определения символа Лежандра имеем

. Из этого равенства в очередь на основании свойств 3 и 4следует, что

. Итак, символ Лежандра

имеет одно и то же значение для всех чисел

, представляемых формой

. Выпишем эти символы Лежандра, которые все равны

или

для всех

указанных модулей

, взятых в определенном выбранном порядке. Тогда для данной квадратичной формы получается некоторая определенная последовательность

чисел, равных

. Эта последовательность чисел, равных

и называется характером рассматриваемой собственно примитивной бинарной квадратичной формы дискриминанта

или характером класса этой формы.