О неопределенных бинарных квадратичных формах (стр. 5 из 8)

Теорема 2. Для того чтобы двусторонние примитивные приведенные формы

и из двустороннего класса дискриминанта были соседними необходимо, чтобы , где - целая часть числа .

Доказательство. Пусть формы

и соседние. Тогда , где - некоторое целое число. Так как и - двусторонние формы, то и , где последнюю делимость можно заменить следующим условием: или что тоже самое , откуда . Тогда в силу взаимной простоты и (это следует из примитивности формы ) из условий делимости и следует, что . Но так как , то или что тоже самое . Из последнего условия делимости следует неравенство , откуда . Но так как форма приведенная, то для числа должны выполняться неравенства , из которых в свою очередь следует, что .

Теорема 2 доказана.

Пример. Для

следующие четыре периода по две соседние двусторонние формы

,

,

,

,

При этом эти формы удовлетворяют теореме 2, т.к.

.

Замечание. Из полученной теоремы следует, что приведенные двусторонние формы будут соседними в очень малом числе случаев и в большинстве случаев они не будут соседними. Вопрос о точном числе случаев, когда приведенные двусторонние формы будут соседними по-видимому является очень трудным и мы его не рассматриваем.

§3. Об оценке сверху числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм.

О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм, так и о числе классов неопределенных квадратичных форм известно очень мало. Для числа классов бинарных квадратичных форм имеется точная формула Дирихле. Другим важным результатом являются неравенства, принадлежащие немецкому математику Зигелю.

,

где

- число приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта ; и - положительные постоянные, зависящие от ; причем - любое фиксированное положительное число. Наша цель состоит в том, чтобы элементарным способом доказать верхнюю оценку в неравенствах Зигеля для . Приводимое доказательство будет опираться на некоторые свойства функции числа положительных делителей натурального числа и мы их приведем вначале.

Арифметическая функция

определяется как число положительных делителей натурального числа .

Предложение 1. Функция

мультипликативна, т.е. , если .

Из этого предложения 1 легко выводится следующее

Предложение 2. Если

- каноническое разложение натурального числа , то

.

Доказательства предложений 1 и 2 приводятся во всех учебниках по теории чисел (напр. см. [4,6]).

Предложение 3. Для числа

делителя натурального числа имеет место неравенство

.

Доказательство. Пусть

и - канонические разложения чисел и , и пусть

, ,…, - все простые делители наибольшего общего делителя чисел и . Тогда ясно, что

. (1)

Но так как справедливо неравенство

, (2)

то неравенство (1) с учетом (2) и предложения 2 перейдет в следующие соотношения

.

Предложение 3 доказано.

Предложение 4. Для

имеет место неравенство

,

где

- произвольное положительное число, - постоянная, зависящая только от .

Доказательство. Мы следуем рассуждениям в [4,5] (доказательство имеется также в [3]). Пусть

- каноническое разложение числа . Тогда имеем